Dafür gibt es (auch schon bei den Standardklassen) `\markright`, `\markboth` (und bei `scrlayer` zusätzlich `\markleft`). Welche der Anweisungen zu verwenden ist, hängt davon ab, welche Marke man konkret ändern möchte. Im Beispiel wäre `\markright` ausreichend, für ein doppelseitiges Dokument und zur Imitation des Verhaltens von Verzeichnissen würde ich jedoch zu `\markboth` bevorzugen:
\documentclass{scrreprt}
\usepackage[automark, headsepline, autooneside=false]{scrlayer-scrpage}
\usepackage[utf8]{inputenc}% Codierung festlegen
\usepackage[ngerman]{babel}% Offensichtlich soll Deutsch verwendet werden.
% Einstellungen gehören in die Dokumentpräambel
\clearpairofpagestyles% siehe scrguide, Kapitel scrlayer-scrpage
\ihead{\headmark}
\ohead*[\pagemark]{\pagemark}
\renewcommand*\chapterpagestyle{scrheadings}% Nicht zu empfehlen, aber offenbar, leider gewünscht.
\begin{document}
\pagenumbering{roman}
\chapter*{Zusammenfassung}
\markboth{Zusammenfassung}{Zusammenfassung}
%\input{Kapitel/Zusammenfassung}
\tableofcontents
\listoffigures
\listoftables
\chapter*{Abkürzungsverzeichnis}
\markboth{Abkürzungsverzeichnis}{Abkürzungsverzeichnis}
%\input{Kapitel/Abkuerzungen}
\cleardoubleoddpage% \cleardoublepage führt je nach open-Einstellung auch einmal zu einer linken, statt einer rechten Seite
\pagenumbering{arabic}
\chapter{Einleitung}
\end{document}
Bitte beachte auch die zusätzlichen Kommentare im geänderten Beispiel.
Darüber hinaus wäre bei Verwendung eines Vorderteils und eines Hauptteils mit unterschiedlicher Seitennummerierung zu überlegen, ob man hier nicht ein typisches Merkmal eines amerikanischen Buchs hat. Demnach wäre man mit `scrbook` eventuell besser bedient und hätte dann `\frontmatter` und `\mainmatter` dafür zur Verfügung. Bei einem einseitigen Werk könnte man außerdem problemlos auf die Erweiterung des optionalen Arguments der Gliederungsbefehle zurückgreifen, die KOMA-Script bietet:
\documentclass[twoside=false,% einseitiges Buch
headings=optiontotoc% siehe scrguide, Abschnitt Gliederung
]{scrbook}
\usepackage[automark, headsepline, autooneside=false]{scrlayer-scrpage}
\usepackage[utf8]{inputenc}% Codierung festlegen
\usepackage[ngerman]{babel}% Offensichtlich soll Deutsch verwendet werden.
% Einstellungen gehören in die Dokumentpräambel
\clearpairofpagestyles% siehe scrguide, Kapitel scrlayer-scrpage
\ihead{\headmark}
\ohead*[\pagemark]{\pagemark}
\renewcommand*\chapterpagestyle{scrheadings}% Nicht zu empfehlen, aber offenbar, leider gewünscht.
\begin{document}
\frontmatter
\chapter[]{Zusammenfassung}% optionales Argument leer --> kein Inhaltsverzeichniseintrag
%\input{Kapitel/Zusammenfassung}
\tableofcontents
\listoffigures
\listoftables
\chapter[]{Abkürzungsverzeichnis}% optionales Argument leer --> kein Inhaltsverzeichniseintrag
%\input{Kapitel/Abkuerzungen}
\mainmatter
\chapter{Einleitung}
\end{document}\end{document}
Siehe desweiteren:
* [Kopfzeile im Anhang falsch](http://texwelt.de/wissen/fragen/9658/kopfzeile-im-anhang-falsch)
* [Kopfzeile Kapitelüberschrift ändern](http://texwelt.de/wissen/fragen/4194/kopfzeile-kapiteluberschrift-andern)
