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1

Folgendes Programm liefert ab n = 8 den Fehler

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! Arithmetic overflow.
\pgfmath@iterate ...pgfmath@x by\c@pgfmath@counta 
                                                  \advance \c@pgfmath@counta...

Gibt es eine einfache Möglichkeit, das zu fixen?

alt text

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\documentclass[margin=30mm, varwidth]{standalone}
%\documentclass{article}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{tikz}
%   \usetikzlibrary{positioning}

\begin{document}
\pagecolor{yellow!65}

\begin{tikzpicture}[%scale=2.0,transform shape, 
font=\footnotesize,
declare function={BinCoeff(\k,\n)=\n!/(\k!*(\n-\k)!);},
]

% Binomialkoeffizienten
\foreach \n in {0,...,7} {%-----------------------------------------
  \foreach \k in {0,...,\n} {%%
\pgfmathtruncatemacro\myresult{BinCoeff(\k,\n)}
%
% Ausführliches Ergebnis
\node[align=center](\n) at (2*\k-1*\n,-\n) {
$\binom{\n}{\k} = \myresult$
};
%
% Kurzes Ergebnis
%\node(\n) at (\k-\n/2,-\n) {$\myresult$};
%
    }%%
}%-----------------------------------------
\node[above of = 0]{\underline{Binomialkoeffizienten $\dbinom{n}{k}$}};

\end{tikzpicture}

\end{document}

gefragt 29 Sep '15, 23:25

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cis
5.4k860169
Akzeptiert: 68%

bearbeitet 29 Sep '15, 23:27


Für große Zahlen bietet es sich an, Berechnungen mit Lua zu machen (setzt natürlich die Verwendung von lualatex voraus):

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\documentclass[margin=30mm]{standalone}
%\documentclass{article}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{tikz}
%   \usetikzlibrary{positioning}

\usepackage{luacode}
\begin{luacode}
  function factorial (n)
    if (n == 0) then
      return 1
    else
      return n*factorial(n-1)
    end
  end

  function binomial (n,k)
    return factorial(n)/(factorial(k)*factorial(n-k))
  end
\end{luacode}

\newcommand{\binomial}[2]{%
  \directlua{tex.print ( binomial ( #1, #2 ) ) }
}

\begin{document}
\pagecolor{yellow!65}

\begin{tikzpicture}[%scale=2.0,transform shape, 
  font=\footnotesize,
]

% Binomialkoeffizienten
\foreach \n in {0,...,10} {%-----------------------------------------
  \foreach \k in {0,...,\n} {%
% Ausführliches Ergebnis
    \node[align=center](\n) at (2*\k-1*\n,-\n) {
      $\binom{\n}{\k} = \binomial{\n}{\k}$
    };
%
% Kurzes Ergebnis
%    \node(\n) at (\k-\n/2,-\n) {$\binomial{\n}{\k}$};
%
    }%%
}%-----------------------------------------
\node[above of = 0]{\underline{Binomialkoeffizienten $\dbinom{n}{k}$}};

\end{tikzpicture}

\end{document}

alt text

Die Rechenfähigkeiten von Lua sind weit besser als die von TeX. Übrigens ist die Formel mit den Fakultäten eine sehr ineffektive Methode zur Berechnung von Binomialkoeffizienten. Die Umsetzung der Produktformel als Algorithmus (egal ob als Schleife oder Rekursion) ist dagegen wesentlich effizienter, weil dabei keine riesigen Zwischenergebnisse wie n! oder k! entstehen, die sehr schnell zu Überläufen führen. Im mit Deiner Grafik noch darstellbaren Bereich bis ca. 25 ist die Fakultätsformel in Lua aber kein Problem, weshalb ich sie beibehalten habe. Spaßeshalber habe ich es sogar mit n=100 durchlaufen lassen, was zwar zu Darstellungsproblemen führt, die Berechnung selbst funktioniert aber sogar in erträglicher Zeit (weniger als eine Minute auf meinem langsamen Notebook).

Aus Lust und Laune hier trotzdem eine für größere n effizientere Lösung:

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\documentclass[margin=2mm]{standalone}
%\documentclass{article}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{tikz}
%   \usetikzlibrary{positioning}

\usepackage{luacode}
\begin{luacode}
  function binomial (n,k)
    if (k == 0) then
      return 1
    else
      if (2*k > n) then
        return binomial (n, n-k)
      else
        b = n - k + 1
        for i=2,k,1 do
          b = b * (n - k + i)
          b = b / i
        end
        return b
      end
    end
  end
\end{luacode}

\newcommand{\binomial}[2]{%
  \directlua{tex.print ( binomial ( #1, #2 ) ) }
}

\begin{document}
\pagecolor{yellow!65}

\begin{tikzpicture}[%scale=2.0,transform shape, 
  font=\footnotesize,
]

% Binomialkoeffizienten
\foreach \n in {0,...,10} {%-----------------------------------------
  \foreach \k in {0,...,\n} {%
% Ausführliches Ergebnis
    \node[align=center](\n) at (2*\k-1*\n,-\n) {
      $\binom{\n}{\k} = \binomial{\n}{\k}$
    };
%
% Kurzes Ergebnis
%    \node(\n) at (\k-\n/2,-\n) {$\binomial{\n}{\k}$};
%
    }%%
}%-----------------------------------------
\node[above of = 0]{\underline{Binomialkoeffizienten $\dbinom{n}{k}$}};

\end{tikzpicture}

\end{document}
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beantwortet 30 Sep '15, 03:52

saputello's gravatar image

saputello
18.4k22352

bearbeitet 01 Okt '15, 02:47

Aja, gut. pdflatex bzw. TikZ selbst kann das nicht? Z.B. mit entsprechenden Paketen?

(30 Sep '15, 16:38) cis

pgf mit Deiner Formel: Nein. Mit dem effizienteren Algorithmus für Binomialkoeffizienten kommt man auch mit pdflatex weiter (siehe meine entsprechende Antwort), aber bei weitem nicht so weit wie mit lualatex. Da lualatex für tikz ohnehin empfehlenswert ist, halte ich die Lua-Lösung für die bessere Wahl.

(01 Okt '15, 01:31) saputello

Man kann den im zweiten Beispiel meiner lualatex-Anwort umgesetzten effizienteren Algorithmus natürlich auch direkt in LaTeX umsetzen, also pdflatex oder xelatex verwenden. Dabei bietet es sich an die e-TeX-Erweiterung \numexpr zu verwenden, da LaTeX bei allen aktuellen Distributionen bereits seit Jahren e-TeX verwendet. Dann ergibt sich beispielsweise:

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\documentclass[margin=2mm]{standalone}
%\documentclass{article}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{tikz}
%   \usetikzlibrary{positioning}

\makeatletter
\newcommand{\binomial}[2]{%
  \ifnum #2=0 
%    \typeout{binomial(#1,#2)=1}%
    1%
  \else
    \ifnum \numexpr 2*#2\relax>#1 
      \binomial{#1}{\the\numexpr #1-#2\relax}%
    \else
      \@tempcnta=\numexpr #1 - #2 + 1\relax
      \@tempcntb=1
      \@whilenum \@tempcntb<#2 \do {%
        \advance\@tempcntb by 1
        \@tempcnta=\numexpr \@tempcnta * (#1 - #2 + \@tempcntb)\relax
        \@tempcnta=\numexpr \@tempcnta / \@tempcntb
      }%
%      \typeout{binomial(#1,#2)=\the\@tempcnta}%
      \the\@tempcnta
    \fi
  \fi
}

\begin{document}
\pagecolor{yellow!65}

\begin{tikzpicture}[%scale=2.0,transform shape, 
  font=\footnotesize,
]

% Binomialkoeffizienten
\foreach \n in {0,...,20} {%-----------------------------------------
  \foreach \k in {0,...,\n} {%
% Ausführliches Ergebnis
    \node[align=center](\n) at (2*\k-1*\n,-\n) {
      $\binom{\n}{\k} = \binomial{\n}{\k}$
    };
%
% Kurzes Ergebnis
%    \node(\n) at (\k-\n/2,-\n) {$\binomial{\n}{\k}$};
%
    }%%
}%-----------------------------------------
\node[above of = 0]{\underline{Binomialkoeffizienten $\dbinom{n}{k}$}};

\end{tikzpicture}

\end{document}

TeX-Lösung bis 20

Wer die ganzen Low-Level-(La)TeX-Bedingungen, -Scheifen und LaTeX-internen TeX-Zähler nicht mag, kann dafür auch das Paket ifthen und selbst definierte LaTeX-Zähler verwenden:

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\documentclass[margin=2mm]{standalone}
%\documentclass{article}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{tikz}
%   \usetikzlibrary{positioning}
\usepackage{ifthen}

\newcounter{binomiali}% Schleifenzähler
\newcounter{binomialresult}% Zwischen- und Endergebnis
\newcommand{\binomial}[2]{%
  \ifthenelse{#2=0}{%
%    \typeout{binomial(#1,#2)=1}%
    1%
  }{%
    \ifthenelse{\numexpr 2*#2\relax>#1}{%
      \binomial{#1}{\the\numexpr #1-#2\relax}%
    }{%
      \setcounter{binomialresult}{\numexpr #1 - #2 + 1}%
      \setcounter{binomiali}{1}%
      \whiledo{\value{binomiali}<#2}{%
        \stepcounter{binomiali}%
        \setcounter{binomialresult}{%
          \numexpr \value{binomialresult} * (#1 - #2 + \value{binomiali})%
        }
        \setcounter{binomialresult}{%
          \numexpr \value{binomialresult}/\value{binomiali}%
        }
      }%
%      \typeout{binomial(#1,#2)=\thebinomialresult}%
      \thebinomialresult
    }%
  }%
}

\begin{document}
\pagecolor{yellow!65}

\begin{tikzpicture}[%scale=2.0,transform shape, 
  font=\footnotesize,
]

% Binomialkoeffizienten
\foreach \n in {0,...,10} {%-----------------------------------------
  \foreach \k in {0,...,\n} {%
% Ausführliches Ergebnis
    \node[align=center](\n) at (2*\k-1*\n,-\n) {
      $\binom{\n}{\k} = \binomial{\n}{\k}$
    };
%
% Kurzes Ergebnis
%    \node(\n) at (\k-\n/2,-\n) {$\binomial{\n}{\k}$};
%
    }%%
}%-----------------------------------------
\node[above of = 0]{\underline{Binomialkoeffizienten $\dbinom{n}{k}$}};

\end{tikzpicture}

\end{document}

Wie zu sehen ist, kommt man mit diesem Algorithmus deutlich weiter als bis n=7. Bei 29 ist mit dieser Lösung allerdings Schluss, während die lualatex-Lösung auch noch weit größere Werte für n verarbeiten kann. Für n>29 könnte man eventuell das Paket xint für die Berechnung des Ergebnisses verwenden. Dessen Anwendung ist allerdings nicht ganz so einfach. Da bereits für n=20 die Darstellung problematisch wird und ich mich mit xint nicht wirklich auskenne, werde ich auf die Vorführung einer entsprechenden Lösung verzichten.

Ich selbst empfehle übrigens eher die lualatex-Lösung. Diverse Möglichkeiten von tikz, die in der pgf-Anleitung, angegeben sind, setzen ohnehin lualatex voraus. Darüber hinaus, bestehen bei Verwendung von lualatex keine statischen Speicherbegrenzung, die bei tikz/pgf-Grafiken mit sehr vielen Punkten bei Verwendung von pdflatex häufiger zu einem Problem werden.

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beantwortet 01 Okt '15, 02:18

saputello's gravatar image

saputello
18.4k22352

bearbeitet 01 Okt '15, 02:52

Ahhhjaaa... Alles nicht ganz einfach :) Ich hatte auf sowas wie \usetikzlibrary{fixedpointarithmetic} gehofft, aber das reicht möglicherweise nicht.

(01 Okt '15, 02:53) cis

fixedpointarithmetic enthält AFAIK keine Funktion für Binomialkoeffizienzen. Auch Fakultäten bietet sie AFAIK nicht. Also bräuchte man min. wieder ein Schleifenkonstrukt. Dasselbe gilt AFAIK für fpu. Ich kann mich aber irren. Wenn da jemand eine Lösung kennt: Nur zu.

Was ich tatsächlich gerne hätte, wäre eine luaarithmetic-Lib für pgf, bei der die Berechnungen einfach mit Lua gemacht werden. Da lualatex für pgf ohnehin empfehlenswert ist, wäre das IMHO eine schöne Sache.

(01 Okt '15, 03:11) saputello

Dann will ich auch noch meinen Lua-Senf dazugeben. Für mich ist die Anwemdung von LuaLaTeX die einzig sinnvolle Alternative:

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\documentclass[10pt,tikz]{standalone}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{fontspec}
\def\BinCoeff(#1,#2){%   (k,n)
  \directlua{ 
    local k, n =#1, #2 
    if k > n/2 then k = n - k end
    local numer, denom = 1, 1
    for i = 1, k do
        numer = numer * ( n - i + 1 )
        denom = denom * i
    end
    tex.print(numer/denom)
}}
\def\Dreieck#1{%
 \begin{tikzpicture}[font=\footnotesize]
  \foreach \n in {0,...,#1} {%
    \foreach \k in {0,...,\n}{%%
      \node[align=center](\n) at (2*\k-1*\n,-\n) {%
        $\binom{\n}{\k} = \BinCoeff(\k,\n)$};
    }}%
  \node[above of = 0]{\underline{Binomialkoeffizienten $\dbinom{n}{k}$}};
 \end{tikzpicture}}

\begin{document}
\Dreieck{5}\par
\Dreieck{10}
\end{document}

alt text

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beantwortet 01 Okt '15, 02:59

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Herbert
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  • grundlegende HTML-Tags werden ebenfalls unterstützt

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Frage gestellt: 29 Sep '15, 23:25

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Zuletzt aktualisiert: 01 Okt '15, 03:11