Ich möchte einen Lorenz-Attraktor grafisch mit LaTeX darstellen. Hierfür erzeugte ich die Daten durch ein kleines Python-Programm, der Originalcode stammt von Chong Zan Kai und wurde von mir auf das nötigste reduziert sowie um die Ausgabe in eine Datei ergänzt.

Open in writeLaTeX
from scipy.integrate import odeint
import scipy
def lorenz_int(initial, t):
  x = initial[0]
  y = initial[1]
  z = initial[2]
  sigma = 10
  rho = 28
  beta = 8.0/3
  x_dot = sigma * (y - x)
  y_dot = x * (rho -z) - y
  z_dot = x * y - beta* z
  return [x_dot, y_dot, z_dot]
initial = [0, 1, 1.05]
t = scipy.arange(0, 100, 0.01)
lorenz_sol = odeint(lorenz_int, initial, t)
pfile=open('lorenz2.dat','w')
for i in lorenz_sol:
  pfile.write("%2.2f %2.2f %2.2f \n" % (i[0],i[1],i[2]))
pfile.close()

Die damit erzeugte Datei kann man hier herunterladen.

Wie kann man die dreidimensionalen Daten gut darstellen?

Mögliche Ansätze und Ideen:

  • pgfplots für die Ausgabe verwenden, mit \addplot3d
  • colormap, mesh, point meta= ... zum Einfärben verwenden, z.B. von der z-Koordinate abhängig oder zeitlich, wie man z.B. mit \thisrow oder \lineno errechnen könnte, z filter, ... optimalerweise würde man dadurch den Weg erkennen, wie der Attraktor umflogen wird
  • opacity, damit man eine Dichte der Kurven erkennt, oder Vorder-/Hintergrund unterscheiden kann
  • evtl. gibt google-Bildersuche Ideen für eine clevere Darstellung, die man (mit pgfplots oder anderem Tool) umsetzen kann bzw. Färbung beispielsweise.

Eine erste Version poste ich als Antwort im Anschluss an die Frage, unter Verwendung von pgfplots. Andere Parameter sowie auch andere Tools wie herkömmliches TikZ, PSTricks, MetaPost oder Asymptote sind ebenfalls willkommen.

gefragt 27 Jun '14, 10:31

stefan's gravatar image

stefan ♦♦
5.8k11733
Akzeptiert: 30%


Für PSTricks gibt es das Paket pst-ode. Es integriert Anfangswertaufgaben mit den Runge-Kutta-Fehlberg-Verfahren mit automatischer Schrittweiten-Anpassung. In der Doku ist sogar ein Lorenz-Attraktor-Beispiel.

Hier ein Attraktor als Anaglyph-3D erzeugt mit pst-ode und dem Befehl \listplotThreeD aus dem Paket pst-3dplot. Man braucht eine Rot-Cyan-Brille zum Betrachten.

alt text

Der LaTeX-Quelltext wird mit latex, dvips und ps2pdf übersetzt. Anschließend wird das animierte Gif mit Hilfe der Kommandos convert und composite (http://imagemagick.org) erzeugt (<mydoc> ist durch den Dateinamen zu ersetzen):

Open in writeLaTeX
convert -density 100 alpha off <mydoc>.pdf <mydoc>.gif
composite -stereo +0 <mydoc>.gif[0] <mydoc>.gif[36] Stereo.gif
i=1
while [ $i -lt 36 ]
do
composite -stereo +0 <mydoc>.gif[$i] <mydoc>.gif[$((i+36))] tmp.gif
convert -loop 0 Stereo.gif tmp.gif Stereo.gif
((i++))
done

Quelltext:

Open in writeLaTeX
\documentclass{article}
\usepackage[tightpage,active]{preview}
\usepackage{pst-ode,pst-3dplot,multido}

\newcommand\lorenzattraktor[2]{% #1: Farbe, #2: Winkel
  \ifdefined\lorenz\else%
    \pstVerb{%
      /alpha 10 def
      /beta 28 def
      /gamma 8 3 div def
    }%
    \pstODEsolve[algebraic]{lorenzXYZ}{0 1 2}{0}{25}{2501}{10 10 30}{
      alpha*(x[1]-x[0]) |
      x[0]*(beta-x[2]) - x[1] |
      x[0]*x[1] - gamma*x[2]
    }%
    \gdef\lorenz{}%
  \fi%
  \begin{pspicture}(-6.05,-2)(6.05,10)
  \psset{unit=0.17cm,linecolor=#1,Alpha=#2,Beta=15}
  \listplotThreeD{lorenzXYZ}
  \psset{unit=0.425cm}
  \pstThreeDNode(0,0,0){O}
  \pstThreeDNode(0,0,5){Z}
  \pstThreeDNode(5,0,0){X}
  \pstThreeDNode(0,5,0){Y}
  \pstThreeDNode(-10,-10,0){A}
  \pstThreeDNode(-10,-10,20){B}
  \pstThreeDNode(-10,10,20){C}
  \pstThreeDNode(-10,10,0){D}
  \pstThreeDNode(10,-10,0){E}
  \pstThreeDNode(10,-10,20){F}
  \pstThreeDNode(10,10,20){G}
  \pstThreeDNode(10,10,0){H}
  \pspolygon(A)(B)(C)(D)
  \pspolygon(E)(F)(G)(H)
  \psline(A)(E)
  \psline(B)(F)
  \psline(D)(H)
  \psline(C)(G)
  \end{pspicture}%
}

\begin{document}%

\multido{\iRed=43+10}{36}{%
  \begin{preview}%
  \definecolor{orng}{rgb}{1,0.33,0}%
  \lorenzattraktor{orng}{\iRed}%
  \end{preview}%
}%
\multido{\iCyan=47+10}{36}{%
  \begin{preview}%
  \definecolor{cyn}{rgb}{0,1,1}%
  \lorenzattraktor{cyn}{\iCyan}%
  \end{preview}%
}%

\end{document}

pst-ode ist auch unter PDFLaTeX verwendbar, da es die Ergebnisliste in eine Datei schreiben kann. Diese kann dann in einem zweiten Durchlauf mit einem beliebigen Plot-Paket, z. B. pgfplots, in eine gedruckte Kurve verwandelt werden.

Hier ein Beispiel, das pgfplots verwendet. Zu kompilieren (wegen der Menge an Punkten) mit

lualatex --shell-escape

Open in writeLaTeX
\documentclass[border=10pt]{standalone}
\usepackage{filecontents}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.8}

\begin{filecontents}{xyz.tex}
\input pst-ode
\pstVerb{
  /alpha 10 def
  /beta 28 def
  /gamma 8 3 div def
}%
\pstODEsolve[
  algebraic,
  saveData % schreibt Ergebnis in lorenzXYZ.data
           % erfordert ps2pdf -dNOSAFER
]{lorenzXYZ}{0 1 2}{0}{100}{10001}{0 1 1.05}{
  alpha*(x[1]-x[0]) |
  x[0]*(beta-x[2]) - x[1] |
  x[0]*x[1] - gamma*x[2]
}
\bye
\end{filecontents}
\immediate\write18{tex xyz}
\immediate\write18{dvips xyz}
\immediate\write18{ps2pdf -dNOSAFER xyz.ps}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
    xmin = -25, xmax = 25,
    ymin = -25, ymax = 25,
    zmin =   0, zmax = 50,
    hide axis,
  ]
  \addplot3[mark=none, mesh, shader=interp, color=black, opacity=0.2]
  file {lorenzXYZ.dat};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

\end{document}

alt text

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beantwortet 27 Jun '14, 10:41

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AlexG
963

bearbeitet 03 Jul '14, 05:38

@AlexG Danke! Mir ging es vorwiegend um die Darstellung, doch pst-ode ist ein sehr guter Tipp, ich sehe es mir gern an.

(27 Jun '14, 10:46) stefan ♦♦

@AlexG Danke, diese Kombination pst-ode und pgfplots funktioniert sehr gut!

(27 Jun '14, 11:24) stefan ♦♦

Habe die Kurve neu berechnet mit denselben Anfangswerten, Länge des Integrationsintervalls und Ausgabeschrittweite wie in Stefans scipy-Beispiel.

(27 Jun '14, 11:40) AlexG

Eine Lösung, die mit LuaTeX die Differentialgleichung löst. (Ganz frech abgeschrieben aus Juan Montijano, Mario Pérez, Luis Rández and Juan Luis Varona. "Numerical methods with LuaLaTeX". TUGboat 35:1, 2014, frei verfügbar im PracTeX Journal)

Open in writeLaTeX
\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{luacode,pgfplots}
\begin{luacode*}
-- Differential equation of Lorenz attractor
function f(x,y,z)
    local sigma = 3
    local rho = 26.5
    local beta = 1
    return {sigma*(y-x),-x*z + rho*x - y,x*y - beta*z}
end

-- Code to write PGFplots data as coordinates
function print_LorAttrWithEulerMethod(h,npoints,option)
    -- The initial point (x0,y0,z0)
    local x0 = 0.0
    local y0 = 1.0
    local z0 = 0.0
    -- add random number between -0.25 and 0.25
    local x = x0 + (math.random()-0.5)/2
    local y = y0 + (math.random()-0.5)/2
    local z = z0 + (math.random()-0.5)/2
    if option ~= [[]] then
        tex.sprint("\\addplot3[" .. option .. "] coordinates{")
    else
        tex.sprint("\\addplot3 coordinates{")
    end
    -- dismiss the first 100 points
    -- to go into the attractor
    for i=1, 100 do
        m = f(x,y,z)
        x = x + h * m[1]
        y = y + h * m[2]
        z = z + h * m[3]
    end
    for i=1, npoints do
        m = f(x,y,z)
        x = x + h * m[1]
        y = y + h * m[2]
        z = z + h * m[3]
        tex.sprint("("..x..","..y..","..z..")")
    end
    tex.sprint("}")
end
\end{luacode*}
\newcommand\addLUADEDplot[3][]{%
  \directlua{print_LorAttrWithEulerMethod(#2,#3,[[#1]])}%
}
\pgfplotsset{width=.9\hsize}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \begin{axis}
    % SYNTAX: Solution of the Lorenz system
    % with step h=0.02 sampled at 1000 points.
    \addLUADEDplot[color=red,smooth]{0.02}{1000};
    \addLUADEDplot[color=green,smooth]{0.02}{1000};
    \addLUADEDplot[color=blue,smooth]{0.02}{1000};
    \addLUADEDplot[color=cyan,smooth]{0.02}{1000};
    \addLUADEDplot[color=magenta,smooth]{0.02}{1000};
    \addLUADEDplot[color=yellow,smooth]{0.02}{1000};
  \end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}

alt text

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beantwortet 28 Jun '14, 11:15

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Henri
9.6k21730

bearbeitet 28 Jun '14, 12:25

Schöne Farben, aber es sind 6 nebeneinanderliegende Attraktoren mit geringfügig variierten Anfangsbedingungen. Interessanter wäre es, wenn sich die Farbe entlang der Trajektorie eines einzigen Attraktors ändern würde. Mir fällt aber gerade kein geeignetes Kriterium ein. Vielleicht der Biegeradius? Ach ja, Euler ist nur ein Verfahren 1. Ordnung, aber das spielt ja keine Rolle hier. ;)

(29 Jun '14, 13:54) AlexG

Diese Darstellung des Lorenz-Attraktors verwendet pgfplots. Aufgrund der Datenmenge erhalte ich mit pdfLaTeX einen Fehler, jedoch läuft es mit LuaLaTeX fehlerfrei durch. Wer testet, also am besten einfach mit LuaLaTeX übersetzen.

Mit \addplot3 und file lese ich aus der Datei lorenz.dat, wo in jeder Zeile x-, y- und z-Koordinate stehen. Ich verwende opacity für eine Visualisierung der Kurven-Dichte und mesh, damit der Plot überhaupt gefärbt wird.

Die Achsen habe ich verborgen, um erstmal das pure Bild zu erhalten, dennoch wären dezente Achsen und evtl. ein Grid unten in der xy-Ebene eine Unterstützung des dreidimensionalen Eindrucks, die voreingestellten Achsen waren mir nur zu wuchtig (einfach hide axis wegnehmen, dann sieht man es). Gerne sehe ich einen Vorschlag für dezente Achsen!

Open in writeLaTeX
\documentclass[border=10pt]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.8}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \begin{axis}[
      xmin = -25, xmax = 25,
      ymin = -25, ymax = 25,
      zmin =   0, zmax = 50,
      hide axis,
    ]
    \addplot3[mark=none, mesh, shader=interp, color=black, opacity=0.2]
      file { lorenz.dat }; 
  \end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Lorenz-Attraktor

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beantwortet 27 Jun '14, 10:42

stefan's gravatar image

stefan ♦♦
5.8k11733

Eine weitere "Animation" eines Lorenz-Attraktors mit dem animate-Paket fand ich im Handbuch (S. 20f.). Das Beispiel und der Code kann dort auch direkt betrachtet/animiert werden, da die Kompilierungsweise aber ein kleinerer Forschungsaufwand war, unten der Code mit kleineren Ergänzungen.

Ein-faches Kompilieren mit arara liefert eine PDF (wahlweise in der im arara-Kopf angegebenen Reihenfolge), die dann im AdobeReader betrachtet/animiert werden kann (im PDF-Viewer von TeXworks ging es nicht.). Sieht dann so aus (ich habe irgendwo auf Pause gedrückt):

alt text

Open in writeLaTeX
% arara: latex
% arara: latex
% arara: dvips
% arara: ps2pdf
%%%  A C H T U N G    - 'kann' ein Weilchen dauern! %%%

\documentclass{article}
\usepackage{multido}
\usepackage{pst-3dplot}
\usepackage{pst-ode}
\usepackage{animate}

\begin{document}
%Lorenz’ set of differential equations
\def\lorenz{%
10*(x[1]-x[0]) | %dx/dt
x[0]*(28-x[2]) - x[1] | %dy/dt
x[0]*x[1] - 8/3*x[2] %dz/dt
}%
%
%write timeline file
\newwrite\OutFile%
\immediate\openout\OutFile=lorenz.tln%
\multido{\iLorenz=0+1}{101}{%
\immediate\write\OutFile{::\iLorenz x0}%
}%
\immediate\write\OutFile{::c,101}%
\multido{\iLorenz=102+1}{89}{%
\immediate\write\OutFile{::\iLorenz}%
}%
\immediate\closeout\OutFile%
%
\psset{unit=0.155,linewidth=0.5pt}%
\begin{animateinline}[
timeline=lorenz.tln,
controls,poster=last,
begin={\begin{pspicture}(-39,-13)(39,60)},
end={\end{pspicture}}
]{10}
%coordinate axes
\psset{Alpha=120,Beta=20}%
\pstThreeDCoor[xMax=33,yMax=33,zMax=55,linecolor=black]%
\newframe
\pstODEsetOrRestoreState{10 10 30} %initial condition
\multiframe{100}{i=0+1,rtZero=0+0.25,rtOne=0.25+0.25}{%
\pstODEsaveState{savedState}%
%compute attractor segments, stored in ‘lorenzXYZseg’
\pstODEsolve[algebraic]{lorenzXYZseg}{0 1 2}{\rtZero}{\rtOne}{26}{savedState}%
{\lorenz}%
%compute the whole attractor, stored in ‘lorenzXYZall’, with the same stepping
\ifnum\i=0\relax%
\pstODEsolve[algebraic]{lorenzXYZall}{0 1 2}{\rtZero}{\rtOne}{26}{savedState}%
{\lorenz}%
\else%
\pstODEsolve[algebraic,append]{lorenzXYZall}{0 1 2}{\rtZero}{\rtOne}{26}%
{savedState}{\lorenz}%
\fi%
\listplotThreeD[plotstyle=line]{lorenzXYZseg}%
}%
\newframe% required between two \multiframe
\multiframe{90}{rAlpha=116+-4}{% fly-around
\psset{Alpha=\rAlpha,Beta=20}%
\pstThreeDCoor[xMax=33,yMax=33,zMax=55,linecolor=black]%
\listplotThreeD[plotstyle=line]{lorenzXYZall}%
}%
\end{animateinline}
\end{document}
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beantwortet 30 Jun '14, 11:10

cis's gravatar image

cis
5.3k754153

bearbeitet 01 Jul '14, 07:02

Das braucht bei der ersten Erstellung zwei latex Läufe ;-) Im Sumatra sieht man auch nichts, aber mit dem PDF-XChange Viewer geht es.

(01 Jul '14, 06:56) esdd

Bei mir ging das einfach so, aber, wie gesagt, nur im AdobeReader. Ich hab es einfach mal ergänzt, schaden kann es ja auch nicht. Und in Sumatra war ich noch nie ;)

(01 Jul '14, 07:03) cis
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Frage gestellt: 27 Jun '14, 10:31

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Zuletzt aktualisiert: 03 Jul '14, 05:38