Vielleicht so, einfach durch Ergänzung von [1cm] am Tabellenzeilenende?
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\begin{document}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{6}{|>{\centering}X}|}
\hline
Hier steht der Text der ersten Zelle. & In der zweiten Zelle steht auch Text. & In der dritten Zelle auch. & & & \\[1cm]
\hline
& & & & & \\[1cm]
\hline
& & & & & \\[1cm]
\hline
\end{tabularx}
\end{document}