Du koenntest einen Koordinatenfilter bauen, der den gewuenschten Effekt hat. Allerdings denke ich, dass der von @cis vorgeschlagene Weg besser ist - immerhin moechtest Du ja nicht suggerieren, dass an den blanken stellen die Vektoren deshalb nicht sichtbar sind, weil sie Laenge 0 haben.
Warum schiebst Du nicht einfach die y Achse nach links mit `axis y line=left`?line=left`?
\documentclass[margin=2mm]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=newest}
\begin{document}
\def\lengthI{sqrt(1+(y+x^2)^2)}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines=left,
xmin=-1, xmax=2,
ymin=0, ymax=14,
xlabel=$t$,
ylabel=$y$,
ytick={1,3.5,5,10},
view={0}{90},samples=15,domain=-1:2, y domain=0:14, %for direction field
]
\addplot3 [blue,-stealth, quiver={u={1/\lengthI}, v={(y+x^2)/\lengthI}, scale arrows=.6 }] (x,y,0);
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}
![alt text][1]
[1]: http://texwelt.de/wissen/upfiles/quiver_1.png
