Es geht auch mit `framed`:
\documentclass[paper=a4,10pt,oneside,fleqn,parskip=half-]{scrreprt}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{csquotes}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{framed}
\makeatletter
\newenvironment{fullwidthshaded}{%
\def\FrameCommand##1{%
\hskip-\paperwidth\textcolor{shadecolor}{\vrule width \paperwidth}%
\colorbox{shadecolor}{##1}%
\textcolor{shadecolor}{\vrule width \paperwidth}\hskip -\paperwidth
}%
\MakeFramed{\FrameRestore}%
}{\endMakeFramed}%
\makeatother
\usepackage{geometry}
\geometry{includehead,includefoot,tmargin=20mm,bmargin=20mm,lmargin=40mm,rmargin=20mm}
\newenvironment{umg1}[1][]{%
\par\noindent\makebox[0pt][r]{#1\hspace{\marginparsep}}%
\underline{Name1:}\enskip\ignorespaces
}{\par}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{.85,.85,.85}
\newenvironment{umg2}{%
\par
\begin{fullwidthshaded} \underline{Name2:}}{\end{fullwidthshaded}}
\begin{document}
Text ohne Umgebung
\begin{umg1}[$\Downarrow$]
Text. Der Text kann auch über mehrere Zeilen gehen. Und auch Mathe-Umgebungen haben wie:
\[1+1=2\]
Oder auch was anderes.
\end{umg1}
\begin{umg2}
Text. Der Text kann auch über mehrere Zeilen gehen. Und auch Mathe-Umgebungen haben wie:
\[1+1=2\]
Oder auch was anderes.
\end{umg2}
\end{document}
Die `\par` bei `umg1` habe ich eingefügt, damit diese Umgebung immer einen neuen Absatz erzeugt. Dabei habe ich als Abstand zwischen optionalem Argument und Textbereich außerdem den normalen Abstand zwischen Randnotizspalte und Textbereich verwendet, also `\marginparsep`.
Den Schatten in den Rand bei `umg2` habe ich einfach mit zusätzlichen `\vrule`-Anweisungen erzeugt, die in den Rand reichen. Dabei bin ich bewusst über die Papierbreite gegangen, weil man bei solchen Dingen immer einen sogenannten Anschnitt vorsehen sollte, damit es auch dann noch passt, wenn das Papier nicht 100% exakt gedruckt oder beschnitten wird. Dabei habe ich einen Wert gewählt, der garantiert ausreicht.
Da `mdframed` aber grundsätzlich überlegen ist, würde ich selbst ebenfalls eher die Lösung von @Henri verwenden. Ich wollte das nur der Vollständigkeit halber erwähnen.
