Ist zwar schon etwas her, aber ich habe ein einen Vorschlag. Dieser kann durchaus noch verbessert werden.
Was stört stört, sind die Geraden. Da diese nach dem Hyperboloid gezeichnet werden, sieht man teilweise Geradenstücke, die eigentlich verdeckt sind.
\documentclass{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.14}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
view={25}{20},
axis lines = none,
height = 12cm,
width = 12cm,
xmin=-4,xmax=5,
ymin=-4,ymax=5,
zmin=-2,zmax=3,
colormap = {hypo}{color(0cm) = (gray!30);color(1cm) = (gray!30)}
]
% Koordinatenform x^2+y^2-z^2=1
%\addplot3[mesh,gray!30,domain=1:2,y domain=0:2*pi,samples=10]({x*cos(deg(y))},{x*sin(deg(y))},{sqrt(x^2-1)}); %surf,draw=black,
%\addplot3[mesh,gray!30,domain=1:2,y domain=0:2*pi,samples=10]({x*cos(deg(y))},{x*sin(deg(y))},{-sqrt(x^2-1)});
% Parameterdarstellung mit hyperbolischen Funktionen
% Parameter für elliptischen Hyperboloid (Bei a=b sind Schnittkurven Kreise)
\def\a{1}
\def\b{1}
\def\c{1}
\addplot3[surf,domain=0:1,y domain=0:2*pi,samples=30]({\a*cosh(x)*cos(deg(y))},{\b*cosh(x)*sin(deg(y))},{-\c*sinh(x)});
\addplot3[surf,domain=0:1,y domain=0:2*pi,samples=30]({\a*cosh(x)*cos(deg(y))},{\b*cosh(x)*sin(deg(y))},{\c*sinh(x)});
%%% Geradenschar: g_a(t):= (cos(a),sin(a),0)+t(-sin(a),cos(a),+-1)
\foreach \i in {-150,-140,...,50} {
\addplot3 [domain=-1.2:1.2,samples=10,black,thin]
(
{cos(\i)-x*sin(\i)},
{sin(\i)+x*cos(\i)},
{x}
);
\addplot3 [domain=-1.2:1.2,samples=10,black,thin]
(
{cos(\i)-x*sin(\i)},
{sin(\i)+x*cos(\i)},
{-x}
);
}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}
