Wie forciere ich waagerechte oder senkrechte Linien in TikZ?

Der Pfeil verbindet (in gerader Verlängerung) die center-Anchors der Nodes. Allerdings haben deine Nodes unterschiedliche Höhen (verursacht durch die hochgestellte Zahl), dadurch liegen die center-Anchors nicht auf der gleichen vertikalen Höhe. Das könntest du natürlich ändern, in dem du die Nodes eben mit ihrem Standard-Anchorcenter positioniert, dies wird aber, wie du vermutlich festgestellt hast, dazu führen, dass die Basislinien nicht mehr auf der gleichen Höhe sind.

Herbert gibt bereits eine Option, nämlich \vphantom{A^2}, das in dem rechten Node eine vertikale unsichtbare Linie einfügt, die die Box so stark vergrößert, damit sie (mindestens) genauso hoch und tief wie die andere Box ist. Ähnliches kann erreicht werden, in dem du die TikZ-Nodes-Optionen text depth und text height verwendest. Eine sehr verallgemeinernde Möglichkeit gäbe es mit font=\strut als Option zu den Knoten (zum Beispiel im every node-Style), um in allen Nodes eine relativ hohe und tiefe Box sicherzustellen.

Falls du aber oft kommutative Diagramme (→ Womit kann ich kommunikative Diagramme zeichnen) zeichnest und TikZ verwenden willst, bietet sich das tikz-cd-Paket an, das auch extra ein Shape mitliefert, das du auch so in TikZ verwenden kannst. Es leiht sich die grobe Syntax bei der xymatrix ab und verwendet intern die TikZ-\matrix, die sich so oder so dafür anbietet).

Dein Beispiel sähe damit so aus:

\documentclass[tikz,convert=false]{standalone}
\usepackage{tikz-cd}
\newcommand*{\mal}{\mathbin{\raisebox{0.4ex}{\scriptsize$\otimes$}}}

\begin{document}
\begin{tikzcd}
A^2 \rar{\varphi} & A\mal A
\end{tikzcd}
\end{document}

Das \rar ist schon ein Short-Cut für \arrow{r}, wobei r hier die Zelle rechts von der aktuellen bedeuten. Ein \arrow{rrd} würde ein Pfeil zur Zelle zeichnen, die zwei Spalten weiter rechts und eine Zeile weiter unten (down) liegt. Ein weiteres Argument in geschweiften Klammern wird als node für den Pfeil verstanden (und automatisch in \scriptsize/\scriptstyle gesetzt). Es wird sowohl für den Pfeil als auch den „edge node“ ein optionales Argument in eckigen Klammern akzeptiert, das als Option an die edge bzw. den Knoten weitergereicht wird:

\arrow[bend left]{luu}[text=red,swap]{\varphi}

zeichnet einen Pfeil zur Zelle zwei Zeilen weiter oben und eine Spalte weiter links, der links-gebogen ist und von einem roten φ begleitet wird, das allerdings auf der anderen Seite als üblich ist (schaue dir die auto-Option im TikZ-Handbuch an).

Das extra Shape von tikz-cd verwendet übrigens einen center-Anchor, der ähnlich wie der mid-Anchor einen fest definieren Abstand (nämlich /tikz/commutative diagrams/center yshift) über der Basislinie liegt:

Wozu brauchst du dafür tikZ?

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\newcommand*{\mal}{\mathbin{\raisebox{0.4ex}{\scriptsize$\otimes$}}}
\begin{document}

$A^2\xrightarrow{\makebox[1cm]{$\scriptstyle\varphi$}}A\mal A$

\end{document}

ansonsten:

\node [base right = of A] (AxA) {$A\mal A\vphantom{A^2}$};

beide Ausdrücke gleich hoch gestalten.