Du solltest `\chapterpagestyle` nicht umdefinieren, da es in der Tat wenig sinnvoll ist, die Kapitelanfangsseiten mit einem Kopf zu versehen. Wenn dann ganze Dokumentteile wie das Inhaltsverzeichnis und eine Zusammenfassung ohne Kopfzeile (also genau genommen ohne Kolumnentitel) sein sollen, dann empfiehlt sich, diese Teile im `plain`-Seitenstil zu setzen:
\documentclass[11pt, parskip=half]{scrreprt}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[scaled=0.95]{helvet}% Passt nicht wirklich zu European Computer
% Modern Roman
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[babel=true, german=quotes, french=guillemets, threshold=30, thresholdtype=words]{csquotes}
\usepackage[french,american,main=ngerman]{babel}
\usepackage[a4paper,width=150mm,top=25mm,bottom=25mm,bindingoffset=6mm]{geometry}
\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
\setcounter{tocdepth}{5}
\setcounter{secnumdepth}{5}
\usepackage{mwe}
\usepackage[automark, headsepline, autooneside=false]{scrlayer-scrpage}
\clearpairofpagestyles
\automark{chapter}
\automark*{section}
\automark*{subsection}
\automark*{subsubsection}
\ihead{\headmark}
\ohead*{\pagemark}
\RedeclareSectionCommand[
beforeskip=0pt,
afterskip=1\baselineskip plus .1\baselineskip minus .167\baselineskip
]{chapter}
\RedeclareSectionCommands[
beforeskip=-.5\baselineskip,
afterskip=.001\baselineskip
]{section,subsection,subsubsection}
\RedeclareSectionCommands[
beforeskip=.5\baselineskip,
afterskip=-1em]{paragraph,subparagraph}
\title{Thesis Title}
\subtitle{Institution Name\\
{\includegraphics[scale=0.25]{example-image}}
}
\author{Author Name}
\date{Day Month Year}
\begin{document}
\maketitle
\chapter*{Abstract}
\pagestyle{plain}
\pagestyle{plain}% oder \pagestyle{empty}
Abstract goes here
\chapter*{Widmung}
To mum and dad
\chapter*{Eidesstattliche Versicherung}
I declare that..
\chapter*{Dank}
I want to thank...
\tableofcontents
\chapter{Einleitung}
\pagestyle{headings}
\blindtext
\part{Theorie}
\chapter{Theoretischer Hintergrund}
\lipsum
\blinddocument\blinddocument\blinddocument
\appendix
\blinddocument\blinddocument
\end{document}
Falls Du `\chapterpagestyle` tatsächlich anders haben willst, kannst Du das gleichzeitig mit dem Seitenstil ändern, also passende Umdefinierungen *vor* den entsprechenden Kapiteln einfügen.einfügen.
Falls auf den Seiten, auf denen Du keinen Kolumnentitel haben willst, auch keine Seitenzahlen sein sollen, dann verwende Seitenstil `empty` statt `plain`.
Siehe ggf. auch die ähnliche Frage: »[mehrseitiges Inhaltsverzeichnis ohne Seitenzahl](http://texwelt.de/wissen/fragen/13863/mehrseitiges-inhaltsverzeichnis-ohne-seitenzahl)«
