Die Lösung, die @tom75 angegeben hat, lässt sich durch ein gezieltes `\unexpanded` so erweitern, dass `\texorpdfstring` `\operatorname` im Argument von `\section` (ggf. zusammen mit `\texorpdfstring`) wieder funktioniert:
\documentclass[12pt]{beamer}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usetheme{AnnArbor}
\usepackage{etoolbox}
\makeatletter
\patchcmd{\beamer@section}
{\def\insertsectionhead{\hyperlink{Navigation\the\c@page}{#1}}}
{\edef\insertsectionhead{\noexpand\hyperlink{Navigation\the\c@page}{\unexpanded{#1}}}}
{}{}
\patchcmd{\beamer@subsection}
{\def\insertsubsectionhead{\hyperlink{Navigation\the\c@page}{#1}}}
{\edef\insertsubsectionhead{\noexpand\hyperlink{Navigation\the\c@page}{\unexpanded{#1}}}}
{}{}
\makeatother
\begin{document}
\section{\texorpdfstring{$\operatorname{e}$-Funktion}{e-Funktion}}
\subsection{Unterthema 1}
\begin{frame}
Frame 1
\end{frame}
\begin{frame}
Frame 2
\end{frame}
\begin{frame}
Frame 3
\end{frame}
\begin{frame}
Frame 4
\end{frame}
\end{document}
Der Vorteil dabei ist, dass dann auch komplexere Dinge wie `\texorpdfstring{$\sqrt{e}$-Funktion}{Wurzel-e-Funktion}` verwendet werden können.
Ein ähnliches Ergebnis kann man auch mit `\protected@edef` statt `\edef` erzielen.
\documentclass[12pt]{beamer}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usetheme{AnnArbor}
\usepackage{etoolbox}
\makeatletter
\patchcmd{\beamer@section}
{\def\insertsectionhead{\hyperlink{Navigation\the\c@page}{#1}}}
{\protected@edef\insertsectionhead{\noexpand\hyperlink{Navigation\the\c@page}{#1}}}
{}{}
\patchcmd{\beamer@subsection}
{\def\insertsubsectionhead{\hyperlink{Navigation\the\c@page}{#1}}}
{\protected@edef\insertsubsectionhead{\noexpand\hyperlink{Navigation\the\c@page}{#1}}}
{}{}
\makeatother
\begin{document}
\section{\texorpdfstring{$\operatorname{e}$-Funktion}{e-Funktion}}
\subsection{Unterthema 1}
\begin{frame}
Frame 1
\end{frame}
\begin{frame}
Frame 2
\end{frame}
\begin{frame}
Frame 3
\end{frame}
\begin{frame}
Frame 4
\end{frame}
\end{document}
Bei dieser Lösung muss man ggf. einzelne zerbrechliche Anweisungen selbst mit `\protect` schützen. Im gezeigten Beispiel ist ein explizites `\protect` jedoch nicht erforderlich, da viele Mathe-Befehle wie auch `\operatorname` oder `\sqrt` so definiert sind, dass sie quasi das `\protect` selbst mitbringen.
