Wie in der KOMA-Script-Anleitung erklärt, kann man den Seitenstil einer einzelnen Seite einfach per `\thispagestyle` ändern.
\documentclass[a4paper,oneside,11pt]{scrartcl}
\usepackage[manualmark]{scrlayer-scrpage}
\cohead{Diese Kopfzeile soll nur auf der ersten Seite dargestellt werden und in der Fußzeile auf Seite 2}
\begin{document}
Inhalt Seite 1
\newpage
\thispagestyle{plain}
Inhalt Seite 2
\end{document}
Der Seitenstil `scrheadings` wird übrigens bereits beim Laden von `scrlayer-scrpage` aktiviert. Daher habe ich die entsprechende Anweisung aus dem Beispiel entfernt.
Da der Seitenstil `plain` in der Voreinstellung nur die Seitenzahl im Fuß setzt, entspricht diese Lösung genau der Frage. Allerdings ist es eher selten, dass man den Inhalt des Kolumentitels fest vorgibt. Daher vermute ich dass Dein Problem in Wirklichkeit ein ganz anderes ist, für das obige Lösung nicht ideal ist.ist. Soll beispielsweise die Kopfzeile nur auf der ersten Seite stehen aber nicht mehr *ab* der zweiten Seite, dann wäre
\documentclass[a4paper,oneside,11pt]{scrartcl}
\usepackage[manualmark]{scrlayer-scrpage}
\pagestyle{scrheadings}
\usepackage{blindtext}
\markright{Diese Kopfzeile soll nur auf der ersten Seite dargestellt werden und in der Fußzeile auf Seite 2}
\begin{document}
Inhalt Seite 1
\newpage
\markright{}
Inhalt Seite 2
\Blindtext[10]
\end{document}
eine bessere Lösung.
