Das Zurücksetzen der Kapitelnummer in `\partmark` unter zu bringen ist ein übler Hack. Man kann das bei KOMA-Script ganz einfach per `\RedeclareSectionCommand` erledigen.
Der Rest ist dann ein Vergleich der aktuellen Teil-Nummer mit der Teil-Nummer des referenzierten Abschnitts. Im Beispiel verwende ich für den Vergleich `\ifstr` aus KOMA-Script. Daher funktioniert dies nur, wenn `\thepart` vollständig expandierbar ist. Das ist im Beispiel der Fall:
\documentclass[12pt, oneside,numbers=endperiod]{scrbook}
\usepackage[utf8]{inputenc}% Wer Umlaute verwendet, sollte die Codierung deklarieren!
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{mwe}
%Kap.-Zählung neu beginnen
\RedeclareSectionCommand[counterwithin=part]{chapter}
\renewcommand*{\thechapter}{\arabic{chapter}}
\renewcommand{\partmark}[1]{\markboth{#1}{}}
\makeatletter
\def\p@chapter{\IfPartNot{\thepart}}% Präfix für chapter-Labels
\def\p@section{\IfPartNot{\thepart}}% Präfix für section-Labels
\def\p@subsection{\IfPartNot{\thepart}}% Präfix für subsection-Labels
\makeatother
\DeclareRobustCommand*{\IfPartNot}[1]{%
\ifstr{\thepart}{#1}{}{#1-}%
}
\begin{document}
\part{Erster Teil des Buches}
\chapter{Einführung}
\section{Blindtext 1}
\blindtext\label{BT_1}
\section{Weitere Texte}
Was bereits in Blindtext 1 in Abschnitt \ref{BT_1} ausgeführt, wollen wir in Blindtext 2 in Abschnitt \ref{BT_2} weiter vertiefen.
Der Querverweis müsste richtig heißen:
Was bereits in Blindtext 1 in Abschnitt \ref{BT_1} ausgeführt, wollen wir in Blindtext 2 in Abschnitt II-1.1 weiter vertiefen.
\part{Zweiter Teil des Buches}
\chapter{Ausführungen}
\section{Blindtext 2}
\blindtext\label{BT_2}
\section{Weitere Texte}
In Blindtext 1 (siehe Abschnitt \ref{BT_1}) wurde bereits ausgeführt \dots
Auch hier muss die römische Ziffer des Buchteils mitgeführt werden, wenn auf einen anderen Buchteil verwiesen wird.
\end{document}
Das Makro `\IfPartNot` wird robust deklariert, damit es nicht bereits beim Schreiben des Labels in die `aux`-Datei expandiert wird, sondern erst bei dessen Verwendung durch `\ref`. Dagegen wird das `\thepart` im Argument von `\IfPartNot` in `\p@…` bereits beim Schreibe in die `aux`-Datei expandiert. `#1` innerhalb von `\IfPartNot` ist daher `\thepart` zum Zeitpunkt `\label`. Dies wird mit dem `\thepart` des `\ref`-Zeitpunkts verglichen. Sind beide gleich, passiert nichts. Sind sie nicht gleich, so wird `#1-` als Präfix ausgegeben.
`varioref` habe ich weggelassen, weil es im Beispiel gar nicht verwendet wird. Dafür habe ich die Eingabecodierung deklariert, da im Text Umlaute, also Sonderzeichen, verwendet werden. `utf8` ist die Codierung des Online-Editors und die Voreinstellung der meisten LaTeX-Editoren.
Ürigens Übrigens sollte man `ß` besser nicht als `\ss{}` eingeben, weil dadurch das Wort in zwei Teile zerfällt und so beispielsweise das Kerning [Kerning](https://de.wikipedia.org/wiki/Unterschneidung_%28Typografie%29) gestört wird. Wenn man schon `\ss` verwendet, dann mit Leerzeichen danach. Besser ist allerdings, es wie `ü` auch direkt einzugeben. Und natürlich sollte man auch die Neue Deutsche Rechtschreibung verwenden, wenn man `ngerman` als Option bei `babel` angibt
