Tabellen in LaTeX sind grundsätzlich nicht umbrechbar. Daher gibt es die Pakete [`longtable`](http://ctan.org/longtable) und [`supertabular`](http://ctan.org/supertabular), mit denen Tabellen über mehrere Seiten umbrochen werden können. In Deinem Fall kommt erschwerend hinzu, dass Du `tabularx` verwenden möchtest. Eine Kombination von `tabularx` und `longtable` ist beispielsweise mit [`ltxtable`](http://www.ctan.org/pkg/ltxtable) oder dem nachfolgend verwendeten [`ltablex`](http://www.ctan.org/pkg/ltablex) möglich. Letzteres ist IMHO etwas komfortabler definiert allerdings `tabularx` um. Das betrifft also alle `tabularx`-Umgebungen.
\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{ltablex}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{booktabs}
\keepXColumns% Bitte in der Anleitung nachlesen!
\usepackage{mwe}
\begin{document}
\section{Symbolverzeichnis}
\blindtext[2]
\begin{tabularx}{\textwidth}{ll>{\raggedright\arraybackslash}X}
\toprule
\textbf{Symbol}&\textbf{Einheit}&\textbf{Bedeutung}\\
\midrule
\endhead
\bottomrule
\endfoot
$A$ &\si{\mm\squared}&Fläche \\
$\Delta p$ & \si{\kg\meter\per\second}& Impulsunschärfe eines Elektrons \\
$l$ & lal & Gelaber \blindtext \\
$L$ & klal & großer Gelaber \blindtext
\end{tabularx}
\end{document}
Was es mit der Anweisung `\keepXColumns` auf sich hat, liest Du bitte in der `ltablex`-Anleitung nach.
Die Verwendung von `\endhead`, `\endfirsthead`, `\endfoot` und `\endlastfoot` findest Du dagegen in der `longtable`-Anleitung. Falls eine `\caption` ins Spiel kommt ist zu beachten, dass diese bei solchen Tabellen *in* die Tabelle gehört. Außerdem erhöhen `longtable`-Tabellen und damit auch `tabularx` von `ltablex` den Zähler `table` auch dann, wenn keine `\caption`-Anweisung verwendet wird. Ggf. [Ggf. ist der Zähler also manuell mit `\addtocounter{table}{-1}` zu korrigieren, korrigieren](http://texwelt.de/wissen/fragen/11502/tabellennummerierung-mit-ltablex-falsch), wenn wie oben kein `\caption` verwendet wird.