Das geht einfach mit der in der unter Abschnitt 4.5, »Creating new macros« angegebenen Anweisung `\DeclareSIUnit`:
\documentclass{article}
\usepackage{siunitx}
\DeclareSIUnit{\degree}{deg}
\begin{document}
\begin{equation}
\SI{1}{\degree} = 1\,\text{deg}
\end{equation}
\end{document}
![deg statt °][1]
In der Anleitung ist an dieser Stelle übrigens als Beispiel angegeben, wie man den voreingestellten Abstand des °-Zeichens verändern kann.
[1]: http://texwelt.de/wissen/upfiles/test1.png