Die schnelle (aber unsaubere) Lösung ist, `\fancyhf{}` direkt nach `\usepackage{fancyhdr}` aufzurufen. Damit setzt man alle Felder von Kopf- und Fußzeile auf den Wert in den geschweiften Klammern (wenn der leer ist, so leert man natürlich Kopf- und Fußzeile). Steht auch in der [Anleitung](http://mirrors.ctan.org/macros/latex/contrib/fancyhdr/fancyhdr.pdf):
> [![alt text][1]][1]
\documentclass[12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage{ngerman}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{caption}
\usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhf{} % <-- NEU!
\lhead{Betriebswirtschaftliche Betrachtung der Pflege unter Schirm}
\rhead{\thepage}
\bibliographystyle{apalike}
\author{}
\title{\begin{flushleft}\Large
Titel der Arbeit
\end{flushleft}}
\section*{Vorwort}
\pagenumbering{Roman}
Jemand musste Josef K. verleumdet haben, denn ohne dass er etwas Böses getan hätte, wurde er eines Morgens verhaftet. »Wie ein Hund! « sagte er, es war, als sollte die Scham ihn überleben. Als Gregor Samsa eines Morgens aus unruhigen Träumen erwachte, fand er sich in seinem Bett zu einem ungeheueren Ungeziefer verwandelt. Und es war ihnen wie eine Bestätigung ihrer neuen Träume und guten Absichten, als am Ziele ihrer Fahrt die Tochter als erste sich erhob und ihren jungen Körper dehnte. »Es ist ein eigentümlicher Apparat«, sagte der Offizier zu dem Forschungsreisenden und überblickte mit einem gewissermaßen bewundernden Blick den ihm doch wohlbekannten Apparat.
\bibliography{MA}
\end{document}
[1]: https://texwelt.de/wissen/upfiles/test_423.png