Du könntest einfach `\setcounter{secnumdepth}{1}` einfügen, dann solltest du aber die Option `donotrepeattitle` verwenden.
\documentclass[man,
donotrepeattitle, %% ansonsten kommt ein nummerierter Titel
%% nach der Titelseite
sollte verwendet werden
]{apa6}
\usepackage{xltxtra}
\defaultfontfeatures{Mapping=tex-text}
% Sprache
\usepackage{polyglossia}
\setdefaultlanguage[spelling=new]{german}
% Titelseite
\title{Titel}
\shorttitle{ST}
\author{A}
\setcounter{secnumdepth}{1} %% Je nach Tiefe wählen
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section{Einleitung}
Test Text
\section{Teil A}
\subsection{Aa}
Test Text
\section{Teil B}
Test Text
\end{document}
