Die nutzbaren Felder und deren Ausgabe werden bei BibTeX einzig und allein vom verwendeten Stil (`\bibliographystyle`, der `.bst`-Datei) kontrolliert. Während ein Kernangebot an Feldern, das schon bei den aus den Achtzigern stammenden Standardstilen `plain` und Co. implementiert war und auch dokumentiert ist (z.B. in Kap. 3 von [`btxdoc`](http://mirrors.ctan.org/biblio/bibtex/base/btxdoc.pdf)), bei fast allen Stilen vorhanden ist und auch die gleiche Bedeutung hat, gibt es vereinzelte Felder (wie z.B. für URL, Abrufdatum, E-Print, arXiv, etc.) neueren Ursprungs, die nur in bestimmten Stilen zu finden sind.
Prinzipiell gilt Ähnliches (es gibt einen Kern an Feldern, die von fast allen Stilen unterstützt werden und je nach Stil zusätzliche Extrafelder) auch für `biblatex`. Da `biblatex` aber erheblich jünger als BibTeX ist und auf mehr Vorarbeit und Erfahrung in dem Themengebiet zurückgreifen konnte, ist das Kernangebot an Feldern wesentlich breiter und moderner. So können eigentlich alle Stile mit URLs und Abrufdatum umgehen.
Diesen Disclaimer habe ich der Antwort vorangestellt, um klar zu machen, dass die Antwort hier wirklich nur für `alphadin` und verwandte Stile relevant ist und nicht ohne Weiteres auf andere Stile übertragen werden kann.
Nun zu Deinen konkreten Fragen.
1. Nein. Der Stil `alphadin` kennt das Feld `subtitle` nicht. Daher wird es auch nicht in der Ausgabe erscheinen. Überhaupt gibt es sehr wenige BibTeX-Stile, die `subtitle` unterstützen. Es wird Dir hier nicht viel anderes übrig bleiben, als den Untertitel einfach mit in das `title`-Feld zu schreiben und ihn durch geeignete Zeichensetzung (`:` oder `--` oder nur `.`) abzutrennen.
2. Der Stil kennt das Feld `lastchecked` (nicht aber `urldate`, `urldate` wird von Stilen der `apacite`-, `babelbib`- und `jurabib`-Familie sowie `dinat` unterstützt, ferner nutzt auch `biblatex` `urldate`; `lastchecked` kommt u.a. bei `urlbst`, `apacite` und `din1505` zum Einsatz). Das Feld wird aber nur ausgegeben, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind. In den meisten Fällen ist zumindest erforderlich, dass eines der Felder `url`, `doi` oder `urn` befüllt ist.
Da in dem Beispiel die URLs im `howpublished`-Feld leben, wird `lastchecked` nicht angezeigt. Ändern lässt sich das dadurch in einigen, einigen Fällen dadurch, dass die URLs in das dafür vorgesehene `url`-Feld verfrachtet werden (dann aber bitte ohne den `\url{...}`-Befehl). Ist das nicht gewünscht, dann bleibt als Alternative, das Abrufdatum ebenfalls in das `howpublished`-Feld zu schreiben. `\url{...}`-Befehl drumherum). Also
url = {http://www.nachhaltigesbauen.de/fileadmin/pdf/Leitfaden_2015/LFNB_D_final-barrierefrei.pdf},
lastchecked = {04.06.2018},
Allerdings gibt `alphadin` das Abrufdatum nicht für alle Eintragstypen aus. So wird die `url` bei `@book` zwar ausgegeben, nicht aber das Feld `lastchecked`. Es wäre also eventuell ein anderer Typ zu wählen. `@booklet`, `@manual`, `@misc`, `@techreport` würden sich anbieten.
Oder eben
Alternativ kann das Abrufdatum zu der URL im `howpublished`-Feld geschrieben werden. Dadurch umgeht man die Automatik, die entscheidet, ob und wie das Abrufdatum zusammen mit der URL angegeben wird.
howpublished = {\url{http://www.nachhaltigesbauen.de/fileadmin/pdf/Leitfaden_2015/LFNB_D_final-barrierefrei.pdf}, Abruf: 04.06.2018},
Auch dieses Feld wird nicht bei allen Typen ausgegeben. `@book` ignoriert es.
3. Wenn du `hyperref` oder das `url`-Paket lädst (`url` wird von `hyperref` geladen, im Allgemeinen ist es also nicht notwendig und häufig auch nicht sinnvoll, beide Pakete zu laden), dann musst Du bei Prozentzeichen in URLs nichts beachten, sofern du (1) das Feld `url` nutzt oder (2) `howpublished` und den `\url{...}`-Befehl verwendest. Escapen von Sonderzeichen wie `%` mit ```\``` ist nicht notwendig.
Das folgende Beispiel zeigt, wie es aussehen könnte
\documentclass[ngerman]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{babel}
\usepackage{csquotes}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{filecontents}
\begin{filecontents}{\jobname.bib}
@article{brockmann.2017,
author = {Brockmann, Tanja},
year = {2017},
title = {{\"O}KOBAUDAT im internationalen Kontext: Bewertungssystem Nachhaltiges Bauen (BNB)},
journal = {Greenbuilding},
number = {Sonderausgabe BAU},
}
@manual{LeitfadenBNB.2016,
author = {{Bundesinstitut f{\"u}r Bau-, Stadt- und Raumforschung
im Bundesamt f{\"u}r Bauwesen und Raumordnung,
Referat II 5 -- Nachhaltiges Bauen}},
organization = {{Bundesministerium f{\"u}r Umwelt, Naturschutz, Bau und Reaktorsicherheit}},
year = {2016},
address = {Berlin},
title = {Leitfaden Nachhaltiges Bauen. Zukunftsf{\"a}higes Planen, Bauen und Betreiben von Geb{\"a}uden},
url = {http://www.nachhaltigesbauen.de/fileadmin/pdf/Leitfaden_2015/LFNB_D_final-barrierefrei.pdf},
lastchecked = {04.06.2018},
}
@misc{ndbnb.2017,
editor = {{Bundesinstitut f{\"u}r Bau-, Stadt- und Raumforschung}},
title = {Nutzungsdauern von Bauteilen zur Lebenszyklusanalyse nach BNB},
year = {2017},
lastchecked = {25.09.2018},
key = {Bun17},
url = {https://www.nachhaltigesbauen.de/baustoff-%20und-gebaeudedaten/nutzungsdauern-von-bauteilen.html},
}
\end{filecontents}
\begin{document}
\cite{brockmann.2017,LeitfadenBNB.2016,ndbnb.2017}
\bibliographystyle{alphadin}
\bibliography{\jobname}
\end{document}