Zunächst einmal sei darauf hingewiesen, dass `latin1` als Eingabecodierung hier auf TeXwelt falsch ist. Der interne Editor arbeitet mit UTF8. Daher lässt man `inputenc` am besten weg. Generell würde ich sehr dazu empfehlen, mit UTF8 zu arbeiten. Alle modernen Editoren sind genau wie LaTeX selbst auch darauf voreingestellt.
Dann sei darauf hingewiesen, dass von einigen wenigen Paketen abgesehen, für die ausdrücklich dokumentiert ist, dass sie nach `hyperref` zu laden sind, `hyperref` unbedingt das letzte Paket sein sollte. Sonst kann es nämlich (bisher) die ganzen Patches, die es an Anweisungen vieler Pakete vornehmen muss, nicht durchführen.
Der Punkt ist in `amsthm` quasi *hardcoded*. Um ihn durch einen Doppelpunkt zu ersetzen, muss man also die (interne) Anweisung `\proof` von `amsthm` patchen:
\usepackage{xpatch}
\xpatchcmd{\proof}{.}{:}{\typeout{\string\proof\space patched}}{\errmessage{\string\proof\space patch failed!}}
Da `thmtools` später `\proof` ebenfalls umdefiniert, sollte man das unmittelbar nach dem Laden von `amsthm` machen.
Für den Umbruch Absatz nach der *Überschrift* kann man dagegen die Anweisung `\addtotheorempostheadhook` aus dem von dir geladenen Paket `thmtools` verwenden. Näheres zu der Anweisung ist der Paket-Anleitung zu entnehmen (bitte unbedingt nachlesen!). Um »`there's no line to end`«-Fehler und »`underfull \hbox`«-Warnungen zu vermeiden, muss man vor dem Zeilenumbruch aber noch genügend horizontales Material setzen. Ich verwende dafür gerne `\mbox{}\hfill`. Da an der Stelle dann kein Seitenumbruch erfolgen soll, verwende ich für die neue Zeile nicht `\\`, `\par`, sondern `\\*`. `\par\nopagebreak`. Der Unterschied sollte in jeder ausführlichen LaTeX-Einführung zu finden sein.
Wir bekommen dann:
sein. Außerdem füge ich vor dem Absatz noch eine unsichtbare Box ein, um überhaupt einen Absatz an den Anfang der Listenumgebung zu bekommen.
Insgesamt also:
\documentclass[paper=a4,titlepage=true,bibliography=totocnumbered,parskip=half,DIV=12]{scrartcl}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[gen]{eurosym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{xpatch}
\xpatchcmd{\proof}{.}{:}{\typeout{\string\proof\space patched}}{\errmessage{\string\proof\space patch failed!}}
\usepackage{thmtools}
\addtotheorempostheadhook[proof]{\mbox{}\hfill\\*}
\addtotheorempostheadhook[proof]{\mbox{}\par\nopagebreak}
\usepackage{hyperref}
\begin{document}
\begin{proof}
\underline{Voraussetzung}: Sei $a \in \mathbb{G}$.
\underline{Annahme}: Reflexivität: z.z.: Für alle $a \in \mathbb{G}$ gilt $a \parallel a$. \\
Für alle $a \in \mathbb{G}$ gilt $a=a \vee a\cap a=\emptyset$\\
\qedhere
\end{proof}
\end{document}
Natürlich könnte man auch einen echten Absatz verwenden. Das ginge dann mit:
\addtotheorempostheadhook[proof]{\mbox{}\par\nopagebreak}
Es sei auch noch darauf hingewiesen, dass Unterstreichen in der Typografie verpönt ist. Es gibt unzählige bessere Auszeichungsmöglichkeiten. Unterstreichen verwendet man bei handschriftlichen Texten (Tafel) oder Schreibmaschine, weil man dort nicht über Mittel wie kursiv oder fett verfügt.
Es sei auch darauf hingewiesen, dass Unterstreichen eine sehr viel stärkere Auszeichnung als Kursiv ist. Dadurch erscheint die Überschrift »*Beweis:*« gegenüber dem unterstrichenen »Voraussetzung« als untergeordnet statt umgekehrt.
Wenn man entgegen aller typografischer Ratschläge durch zum Unterstreichen greift, sei auf Pakete wie [`ulem`](https://www.ctan.org/pkg/ulem) oder (mit Einschränkung) [`soul`](https://www.ctan.org/pkg/soul) hingewiesen, deren Ergebnisse häufig als besser eingeschätzt werden.
