AFAIK geht das nur, indem man den `xticklabel style` für die extra ticks via `extra x tick style` ändert:
    \documentclass[12pt]{scrartcl}% a4paper ist default
    \usepackage{etex}% Das Paket hier zu laden ist seit LaTeX 2015/01/01 weitgehend überflüssig.
    \usepackage[landscape]{geometry}% landscape kann man auch schon beim Laden von scrartcl angeben.
    \geometry{a4paper, left=1cm, right=1cm, top=1cm, bottom=1cm}
    \usepackage{graphicx}% Überflüssig, weil es von TikZ- ohnehin geladen wird.
    \usepackage{amsmath}
    \usepackage{pgfplots}
    \usepackage{tikz}% Überflüssig, weil es von pgfplots ohnehin geladen wird.
    \usepackage{xcolor}% Überflüssig, weil es von pgf/TikZ ohnehin geladen wird.
    \pgfplotset{compat=1.18}% \pgfplotsset{compat=1.18}% siehe <https://texwelt.de/fragen/19163>
    
     \begin{document}
    %\begin{textblock*}{29.5cm}(0.5cm,8cm) % Unbekannte Umgebung auskommentiert.
    \begin{tikzpicture} % [scale=1]
    \begin{axis}[
    axis x line=middle, %position der x-achse bottom, middle, top, none
    axis y line=left, %position der y-achse right, middle, left, none
    %y axis line style= {opacity=1},
    xlabel={$Punkte$}, %x-achsenbeschriftung
    xlabel style={at={(1,-0.42)}}, %Zahlen beziehen sich auf die ganze Einheit (1=100 %)
    ylabel={$Anzahl$}, %y-achsenbeschriftung
    ylabel style={at={(0.07,1.10)},rotate=-90},
    x=0.25cm,    %größe der kästchen in x-richtung
    y=0.5cm,    %größe der kästchen in y-richtung
    grid =major, %zeichnet rechenkästchen in der x- und y-achse                 %           grid=both
    xtick={0,1,2,3,4,5,6, ..., 112}, % x-achsenskalierung
    xticklabels={0, ,1, ,2, ,3, ,4, ,5, ,6, ,7, ,8, ,9, ,10, ,11, ,12, ,13, ,14, ,15, ,16, ,17, ,18, ,19, ,20, ,21, ,22, ,23, ,24, ,25, ,26, ,27, ,28, ,29, ,30, ,31, ,32, ,33, ,34, ,35, ,36, ,37, ,38, ,39, ,40, ,41, ,42, ,43, ,44, ,45, ,46, ,47, ,48, ,49, ,50, ,51, ,52, ,53, ,54, ,55, ,56 },
    xticklabel style = {font=\small},
     ytick={0,1,2,3,4,5,6}, % y-achsenskalierung
     yticklabels={, ,},
     yticklabel style = {font=\footnotesize}, %major tick length=0pt}
      extra x ticks ={0},
     extra x tick style={major tick length=4pt, yshift=0pt, opacity=1, grid=none,
         xticklabel style = {font=\tiny},% Label stil nur für extra x ticks geändert
     },
     extra x tick label={1},
       xmin=0,  % definitionsbereich minimumwert
    xmax=113,   % definitionsbereich maximumwert
    ymin=0,  % wertebereich minimumwert
     ymax=6,   % wertebereich maximumwert
      %    scale = 0.7   % vergrößerungsfaktor    
       x axis line style = {-latex}, % schöne Pfeile
      y axis line style = {-latex}, % schöne Pfeile
       grid style={gray!25} %{dotted,}
    ]
     \end{axis} 
      \end{tikzpicture}
    %  \end{textblock*}
    \end{document}
Da ich kein `pgfplots`-Experte bin, kann es aber durchaus sein, dass einer der Experten eine bessere Lösung (und weitere Verbesserungsmöglichkeiten für den Code) kennt.