Aufgrund der Funktionsweise von `apacite` (sowie BibTeX und `thebibliography` im Allgemeinen) wäre es nicht sehr simpel, den Stil dazu zu bekommen, das `institution`- oder `publisher`-Feld bei fehlendem `author`/`editor`-Feld ins Zitat aufzunehmen. (Es wäre meiner Meinung nach auch nicht unbedingt mit dem APA-Stil vereinbar.)
Stattdessen bietet es sich an, die betreffende Institution einfach in das `author`-Feld zu schreiben, wenn es denn in Zitat und Literaturverzeichnis an dieser Stelle ausgegeben werden soll. Es gibt keine Regel, die besagt, dass nur Personen in das `author`- oder `editor`-Feld geschrieben werden dürfen. Die `author`-, `editor`-, `publisher`- und `institution`-Felder sollten nach der Funktion für das Werk befüllt werden (liegt Autorenschaft vor?), nicht nach anderen Eigenschaften (handelt es sich um einer eine Person?).
Es ist zu beachten, dass BibTeX den Inhalt der `author`- und `editor`-Felder als Liste von Personennamen versteht. Wenn man dort den Namen einer Institution angeben will, dann sollte man ihn (mindestens sobald er ein Leerzeichen beinhaltet) mit einem zusätzlichen Paar geschweifter Klammern schützen, damit er nicht in Vor- und Nachnamen zerlegt wird. Siehe z.B. https://tex.stackexchange.com/q/10808/35864.
Es sei noch angemerkt, dass `apacite` den APA-Stil der inzwischen nicht mehr aktuellen sechsten Auflage des *APA Manuals* implementiert. Wenn Du den Stil der aktuellen siebten Auflage brauchst, dann ist `apacite` nicht mehr die richtige Wahl. Mir ist in der LaTeX-Welt als einzige Implementation für APA7-Zitate/Literatur nur [`biblatex-apa`](https://ctan.org/pkg/biblatex-apa) bekannt.
