Hier mal eine **Nur-Tikz** Lösung. Sie kommt mit elementaren Mitteln aus und die Rechendauer hält sich, bei nicht zu großem N, in Grenzen:
![alt text][1]
![alt text][2]
\documentclass[margin=2.5mm]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{fpu}
%Funktion definieren
\def\N{3} % obere Summationsgrenze
\def\x{\noexpand\x} % \x nicht ändern in \edef
\edef\Gibbs{0} % Gibbs_0 = S_0 := 0
\edef\Mm{-1} % M_0 :=-1; M_(m+1) = M_m + 2 bzw. M_m = 2m-1
\foreach \m in {1,...,\N} {% %Summe von 1 bis N
\global\edef\Mm{\Mm+2} % M_(m+1) = M_m + 2;
\global\edef\Gibbs{
\Gibbs + (4*sin(((\Mm)*pi*\x) r)/(pi*(\Mm)) }
}%
%========
\begin{document}
%========
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\tiny]
%\node[] at (0,0) {\Mm}; % Zur Kontrolle
%\node[] at (0,-1){\Gibbs}; % der Berechnung
% \draw[help lines] (-2,-1.25) grid (2,1.0);
%Achsen Zeichnen
\draw[->] (-2.25,0) -- (2.25,0) node[below] {\footnotesize$x$};
\draw[->] (0,-1.75) -- (0,1.75) node[left] {\footnotesize$y$};
% Achsen beschriften
\foreach \x in {-2,-1.5,...,-0.5,0.5,1,...,2}
\draw (\x,-1pt) -- (\x,1pt) node[below=2pt] {$\x$};
\foreach \y in {-1.5,-1,-0.5, 0.5,1,1.5}
\draw (-1pt,\y) -- (1pt,\y) node[left=2pt] {$\y$};
\node[below right]{$\scriptstyle0$};
%Funktion zeichnen
\draw[color=blue, domain=-2.1:2.1, samples=201] plot /pgf/fpu, /pgf/fpu/output format=fixed] plot[domain=-2.1:2.1, samples=201, smooth] (\x, {\Gibbs});
\node at (1.0,1.5) {$N=\N$};
\end{tikzpicture}
%========
\end{document}
%========
**€dit:
Wegen der Zusatzfrage, nach der "Platzierung", eine kleine Ergänzung:**
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{fpu}
\newcommand{\PlotGibbs}[1]{%%%%%%%%%%%
%Funktion definieren
\def\N{#1} % obere Summationsgrenze
\def\x{\noexpand\x} % \x nicht ändern in \edef
\edef\Gibbs{0} % Gibbs_0 = S_0 := 0
\edef\Mm{-1} % M_0 :=-1; M_(m+1) = M_m + 2 bzw. M_m = 2m-1
\foreach \m in {1,...,\N} {% %Summe von 1 bis N
\global\edef\Mm{\Mm+2} % M_(m+1) = M_m + 2;
\global\edef\Gibbs{
\Gibbs + (4*sin(((\Mm)*pi*\x) r)/(pi*(\Mm)) }
}%
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\tiny]
%\node[] at (0,0) {\Mm}; % Zur Kontrolle
%\node[] at (0,-1){\Gibbs}; % der Berechnung
% \draw[help lines] (-2,-1.25) grid (2,1.0);
%Achsen Zeichnen
\draw[->] (-2.25,0) -- (2.25,0) node[below] {\footnotesize$x$};
\draw[->] (0,-1.75) -- (0,1.75) node[left] {\footnotesize$y$};
% Achsen beschriften
\foreach \x in {-2,-1.5,...,-0.5,0.5,1,...,2}
\draw (\x,-1pt) -- (\x,1pt) node[below=2pt] {$\x$};
\foreach \y in {-1.5,-1,-0.5, 0.5,1,1.5}
\draw (-1pt,\y) -- (1pt,\y) node[left=2pt] {$\y$};
\node[below right]{$\scriptstyle0$};
%Funktion zeichnen
\draw[color=blue, domain=-2.1:2.1, samples=201] plot /pgf/fpu, /pgf/fpu/output format=fixed] plot[domain=-2.1:2.1, samples=201, smooth] (\x, {\Gibbs});
\node at (1.0,1.5) {$N=\N$};
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%========
\begin{document}
%========
Betrachten wir die F{\"a}lle N = 1, 4 und 7: \\
\begin{tabular}{clclc}
\PlotGibbs{1} & \PlotGibbs{4} \\
\PlotGibbs{7} &
\end{tabular}
%oder ähnlich.....
%========
\end{document}
%========
**€dit2: Ich habe noch eine Ergänzung mit der Bibliothek fpu vorgenommen, das erlaubt auch höhere Summationsgrenzen N (ohne fpu nur bis N=22). Damit ist die Lösung nicht mehr, wie angestrebt, 100% elementar; aber, wie gesagt, wenn man keine zu großen N-Werte braucht, kann man das auch weglassen.**
[1]: http://texwelt.de/wissen/upfiles/aaaaaa22tgf__--13-1215_03_3.png
[2]: http://texwelt.de/wissen/upfiles/9999999999vohgi7f_1.jpg
