Anstatt jetzt eine, sicher nicht ganz einfache, Sache auszutüfteln:
Wie wäre es mit ein paar Feinschliffen?
Vorschlag (kann natürlich beliebig weiter verfeinert werden):
\documentclass[margin=2mm,tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}
\begin{document}
\def\lengthI{sqrt(1+(y+x^2)^2)}
\begin{tikzpicture}[>=latex] %NEU
\begin{tikzpicture}[]
\begin{axis}[
axis lines=middle,fill=white,
lines=middle,
xmin=-1.25, xmax=2.25,
ymin=0, ymax=14,
xlabel=$t$,
xlabel style={below=5pt, fill=white},
ylabel=$y$,
ylabel style={left=4pt}, %NEU
ytick={1,3.5,5,10},
view={0}{90},samples=15,domain=-1:2, y domain=0:14, %for direction field
yticklabel style={draw=none, inner sep=3pt, fill=lightgray, text opacity=1} %NEU
]
\addplot3 [blue,-stealth, quiver={u={1/\lengthI}, v={(y+x^2)/\lengthI}, scale arrows=.6 }] (x,y,0);
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}
