Wie kann ich eine Schnittmenge färben?

Unter der Annahme, dass du keine Transparenz im finalen Diagramm benötigst, kann der folgende Code verwendet werden ohne auf irgendwelche Tricks zurückzugreifen (die da wären: Inverser Clip, interne PGF-Makros (siehe auch TeX.sx) und Schnittstellen-Finderei, Bogen-Berechnungen, etc.).

Er verwendet grundsätzlich drei Schritte:

1. Die einfachen Flächen werden zuerst mit ihrer Farbe gefüllt.
2. Für jede Zweier-Kombination von Flächen werden beide Ellipsen geclipt, so dass im anschließenden Zwischenschritt nur die Schnittmenge dieser beiden Ellipsen gefüllt wird. (Der dafür verwendete Pfad ist relativ irrelevant, anstelle der Bounding Box hätten auch einfach nochmal die Ellipsen verwendet werden können.)
3. Die Ellipsen werden ohne Füllung gezeichnet, im Gegensatz zum Beispiel aus der Frage habe ich jeder Ellipse in ihrer (unverblassten) Füllungsfarbe gezeichnet.
4. Für die Bezeichnungen der Ellipsen habe ich die anfangs definierten Ellipsenmittelpunkte definiert.

Es sei darauf hingewiesen, dass ich Ellipsenradien sowie Ellipsenzentren einheitlich im Benutzer-Koordinatensystem (das ohne Einheiten) angegeben habe.

Der hier vorgeschlagene Lösungsweg kann nicht angewendet werden, wenn die gemeinsamen Schnittmengen mit einem gemeinsamen Shading oder einem gemeinsamen Fading ausgestattet werden soll. Ein Pattern allerdings würde sich ohne Phasenverschiebungen gerendert werden. Der in den meisten Pattern vorhandener transparenter Hintergrund würde allerdings diese Lösung genau zu nichtig erklären, wie die Abhängigkeit von Transparent und Schritt 1 müsste drastisch verändert werden oder die Schnittmengen-Fläche doch aufwändig ermittelt werden.

Code

\documentclass[tikz,margin=5mm]{standalone}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[very thick, x radius=6, y radius=5]
\coordinate (e1) at (0,-8)
 coordinate (e2) at (7,-8)
 coordinate (e3) at (3.5, -4);
% Schritt 1: Einfache Flächen einfärben
\foreach \col[count=\ca] in {green, yellow, blue}
  \fill[color=\col!40] (e\ca) ellipse[];
% Schritt 2: Schnittmengen mit mehr als zwei Ellipsen einfärben
\foreach \ca/\cb in {1/2, 2/3, 3/1} {
  \begin{scope}
    \clip (e\ca) ellipse[]; \clip (e\cb) ellipse[];
    \fill[red!40] (current bounding box.south west) rectangle
                  (current bounding box.north east);
  \end{scope}
}
% Schritt 3: Elippsen-Rand zeichnen
\foreach \col[count=\ca] in {green, yellow, blue}
  \draw[\col] (e\ca) ellipse[];
% Schritt 4: Bezeichnungen
\begin{scope}[very thick,font=\large]
  \node[below left]  at (e1) {Ellipse A};
  \node[above=+1cm]  at (e3) {Ellipse B};
  \node[below right] at (e2) {Ellipse C};
\end{scope}
\node[font=\Large\bfseries] at (barycentric cs:e1=1,e2=1,e3=1) {Schnittmenge};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Output