Du könntest einfach das Paket [`gauss`](http://ctan.org/pkg/gauss) verwenden, das bereits so etwas liefert. Für Deinen Zweck benötigt man einfach nur die Zeilenoperation `\mult`, die eine Operation innerhalb der Zeile darstellt:
\documentclass[varwidth, margin=2mm]{standalone}
\usepackage{gauss}
\begin{document}
$\begin{gmatrix}[p]
a & b & c\\
d & e & f \\
g & h & i
\rowops
\mult{0}{= III}
\mult{1}{\cdot 2-I}
\mult{2}{= I}
\end{gmatrix}
$
\end{document}
![erster Schritt][1]
Um den Strich am Anfang der Anmerkungen zu entfernen, muss man lediglich `\rowmultlabel` umdefinieren die Originaldefinition lautet: `\def\rowmultlabel#1{|\,#1}`. Lässt man `|` weg, ist der Strich weg. Kleinere Schrift erhält man im Mathemodus mit `\scriptstyle` oder `\scriptscriptstyle`. Alles aufrecht würde ich im Mathemodus nicht empfehlen, stattdessen würde ich `III` gezielt per `\mathit{III}` als eine einzige Variable markieren. Da Du das aber explizit nachgefragt hast, seien hier stattdessen sämtliche Anmerkungen in `\mathrm` gesetzt:
\documentclass[varwidth, margin=2mm]{standalone}
\usepackage{gauss}
%\renewcommand*{\rowmultlabel}[1]{\,\scriptscriptstyle #1}% eher zu empfehlen
\renewcommand*{\rowmultlabel}[1]{\,\scriptscriptstyle\mathrm{#1}}% gefordert
\begin{document}
$\begin{gmatrix}[p]
a & b & c\\
d & e & f \\
g & h & i
\rowops
\mult{0}{= III}
\mult{1}{\cdot 2-I}
\mult{2}{= I}
\end{gmatrix}
$
\end{document}
![mit kleiner Schrift und alles aufrecht][2]
Und bevor jetzt die Frage kommt, wie man die Klammern ändern kann, beispielsweise so:
\documentclass[varwidth, margin=2mm]{standalone}
\usepackage{gauss}
%\renewcommand*{\rowmultlabel}[1]{\,\scriptscriptstyle #1}
\renewcommand*{\rowmultlabel}[1]{\,\scriptscriptstyle\mathrm{#1}}
\newmatrix{\lgroup}{\rgroup}{G}
\begin{document}
$\begin{gmatrix}[G]
a & b & c\\
d & e & f \\
g & h & i
\rowops
\mult{0}{= III}
\mult{1}{\cdot 2-I}
\mult{2}{= I}
\end{gmatrix}
$
\end{document}
![mit geänderten Klammern][3]
Der Abstand zwischen Matrix und Anmerkungen kann ebenfalls verändert werden. Siehe dazu die Anleitung zum Paket.
[1]: http://texwelt.de/wissen/upfiles/test_20170418_091722.png
[2]: http://texwelt.de/wissen/upfiles/test_20170418_092226.png
[3]: http://texwelt.de/wissen/upfiles/test_20170418_093053.png
