Wenn du die angegebene Literatur wirklich alles gelesen hast, verstehe ich ehrlich gesagt nicht, warum du nicht weißt, dass man Spalten fester Breite mit `p`-Spalten (Standard, siehe jede ausführliche LaTeX-Einführung) oder ggf. `m`- oder `b`-Spalten (siehe Anleitung zum `array`-Paket) macht. Farben macht man mit `colortbl` vorzugsweise durch Laden von `xcolor` mit Option `table`. Auch das findet man in der von dir angegebenen Literatur.
Leider hast du noch immer kein [vollständiges Minimalbeispiel](http://texwelt.de/wissen/fragen/569/) in die Frage eingefügt, das zeigt, was du bereits hast, und von dem man ausgehen könnte. Ich habe nun sicher keine Lust, die gezeigte Tabelle komplett auszuführen. Daher nur ein erster Ansatz:
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[width=18cm]{geometry}% sonst passt die Tabelle nie
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{ragged2e}
\begin{document}
\arrayrulecolor{white}
\begin{tabular}{>{\columncolor{gray!75}}p{2cm}|>{\columncolor{gray!50}}p{7cm}|>{\columncolor{gray!50}}p{3cm}|>{\columncolor{gray!50}\Centering}p{1.5cm}|>{\columncolor{gray!50}\Centering}p{1.5cm}}
Lfd. Nr. & \cellcolor{gray!75}Was zu tun ist
& \cellcolor{gray!75}Ausprägung
& \cellcolor{gray!75}AG & \cellcolor{gray!75}AN \\\hline
LS01.-1 & Entgegennahme der Wünsche aller Kinder zum Weihnachtsfest 2018
& während des Sommers
& X & Y/Z \\
\end{tabular}
\end{document}
Für ältere LaTeX-Distribution wie derzeit noch auf Overleaf, braucht es eventuell zusätzlich
\usepackage[utf8]{inputenc}
Im Beispiel wird übrigens `colortbl` und damit auch `array` von `xcolor` geladen.
Natürlich könnte man das mit `booktabs` oder `hhline` o. ä. noch schöner machen. Außerdem gibt es mit Sicherheit auch ganz andere Ansätze. Wie gesagt: Nach der mäßigen Vorleistung, wollte ich nur einen ersten Ansatz liefern.
Achja: Obige Tabellen ist breiter als 15cm, weil 2cm + 7cm + 3cm + 1,5cm + 1,5cm + Spaltenabstände > 15cm. Und ich hatte keine Lust jedes Mal bei den Spaltenbreiten noch `2\tabcolsep` abzuziehen.abzuziehen.
Wenn innerhalb der Tabelle ein Seitenumbruch benötigt wird, braucht man natürlich `longtable`, `supertabular` oder ähnliches. Hier ein sinnloses Beispiel mit dem Standardwerkzeug `longtable`:
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[width=18cm]{geometry}% sonst passt die Tabelle nie
\usepackage{longtable}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{ragged2e}
\usepackage{blindtext}% nur zu Demozwecken
\begin{document}
\arrayrulecolor{white}
\begin{longtable}{>{\columncolor{gray!75}}p{2cm}|>{\columncolor{gray!50}}p{7cm}|>{\columncolor{gray!50}}p{3cm}|>{\columncolor{gray!50}\Centering}p{1.5cm}|>{\columncolor{gray!50}\Centering}p{1.5cm}}
Lfd. Nr. & \cellcolor{gray!75}Was zu tun ist
& \cellcolor{gray!75}Ausprägung
& \cellcolor{gray!75}AG & \cellcolor{gray!75}AN \\\hline
\endhead
LS01.-1 & Entgegennahme der Wünsche aller Kinder zum Weihnachtsfest 2018
& während des Sommers
& X & Y/Z \\\hline
LS01.-2 & \blindtext & jetzt & Q & V/W \\\hline
LS01.-3 & \blindtext & jetzt & Q & V/W \\\hline
LS02.-1 & \blindtext & jetzt & Q & V/W \\\hline
LS02.-2 & \blindtext & jetzt & Q & V/W \\\hline
LS02.-3 & \blindtext & jetzt & Q & V/W \\\hline
LS03.-0 & \blindtext & jetzt & Q & V/W \\\hline
\end{longtable}
\end{document}
Zum näheren Verständnis bitte die Anleitungen der verwendeten Pakete beachten.
