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Fehler gelistet
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Bei diesem Code gibt es sehr viele Fehlermeldungen. Die sollte man beachten und beheben, auch wenn man den Übersetzungslauf trotzdem durchrauschen lässt, sonst gibt es Folgeprobleme und sowieso Darstellungsprobleme.
- kpfonts und fourier sind beides Schriftpakete, entscheide Dich für eins sonst gibt es Konflikte.
- Aufeinanderfolgende Zeilenumbrüche wie `\\\\` werfen Fehler
- hier und dort wurde Mathemodus `$...$` vergessen
- Umgebungen `center` und `figure` problematisch vermischt (`\begin{center}` durch `\end{figure}` beendet etc.)
- `\begin{figure,center}` geht so auch nicht
- Eine Überschrift (`\subparagraph`) kann man nicht in eine `flushleft`-Umgebung packen
Ich habe mal solange im Code editiert, bis der letzte Fehler weg ist:
ist. Der Code hat weiterhin einiges nicht-empfehlenswertes drin, ich wollte ihn nur übersetzbar machen.
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[german]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{makeidx}
\usepackage[demo]{graphicx}
\usepackage{lmodern}
%\usepackage{kpfonts}
\usepackage{fourier}
\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2.5cm,bottom=2cm]{geometry}
\author{Mario Peters}
\title{Die Exponentialfunktion}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\pagebreak
\section{Die Exponentialfunktion}
\paragraph{\begin{flushleft}
Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die im einfachsten Fall die Form f(x)=ax
hat. Dabei ist die Basis a
eine reelle positive Zahl ungleich 0
oder 1
und der Exponent x
eine Variable. Wie die meisten Funktionen hat auch die Exponentialfunktion einen charakteristischen Graphen. Dieser lässt sich durch Parameter beeinflussen.
\end{flushleft}}
\subsection{Arten der Exponentialfunktionen}
\begin{flushleft}
Es gibt unterschiedliche Arten von Exponentialfunktionen. Drei wichtige werden dir hier vorgestellt:\\
Wachstumsfunktionen sind monoton steigende Funktionen, die Vorgänge beschreiben, bei denen etwas zunimmt. In der Grafik entspricht das der Funktion f.\\
Zerfallsfunktionen sind monoton fallende Funktionen, die Vorgänge beschreiben, bei denen etwas abnimmt. In der Grafik entspricht das der Funktion g.\\
Die natürliche Exponentialfunktion ist eine Funktion, die als Basis die eulersche Zahl $e$
hat. Sie beschreibt wachsende Vorgänge und zugleich ihre momentanen Änderungsraten.\\
Die Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion stellt in der Funktionsanalyse einen wichtigen Vorteil dar. Deshalb werden häufig mithilfe von Logarithmusfunktionen gewöhnliche Exponentialfunktionen in natürliche umgewandelt. Um dies durchführen zu können, musst du dich mit e-Funktionen und den Rechenregeln der Logarithmusfunktionen gut auskennen.
\end{flushleft}
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1,0,0}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw[->,color=black] (-4.3,0) -- (5.14,0);\label{Koordinatensystem}
\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0,-1.2) -- (0,6.3);
\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5,6}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-4.3,-3.58) rectangle (10.14,6.3);
\draw[blue,smooth,samples=100,domain=-4:5.0] plot(\x,{2^(\x)});
\draw[red,smooth,samples=100,domain=-4.2:5.0] plot(\x,{2^(-\x)});
\end{tikzpicture}
blau $f(x) =2^x $\:und\: rot $f(x) =2^{-x}$
\pagebreak
\subsection{Die Funktionsgleichungen und deren Parameter im Bezug auf den Graphen}
\begin{equation}
f(x)=e^x
\end{equation}
Diese natürliche Exponentialfunktion kann noch durch 4 Parameter ($a$,$c$,$d$ und $y_{0}$) ergänzt werden.
Diese beeinflussen auf ihre spezifische Art den Graphen der Funktion.
\subparagraph{graphische Darstellung von $f(x)=e^x$}
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1,0,0}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw[->,color=black] (-4.3,0) -- (5.14,0);\label{Koordinatensystem}
\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0,-1.2) -- (0,6.3);
\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5,6}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-4.3,-3.58) rectangle (10.14,6.3);
\draw[blue,smooth,samples=100,domain=-4:5.0] plot(\x,{e^(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{center}
Typische Eigenschaften:\\
- schneidet die y-Achse an der Stelle ($0\mid 1$)\\
- streng monoton steigend\\
-Graph nähert sich der x-Achse annähernd, aber berührt sie nie (Asymtote: y=0)\\
\pagebreak
\section{Die natürliche Exponentialfunktion/e-Funktion}
\section{Ableitungsgraphen der Exponentialfunktion untersuchen}
\subsection{Aufgabe 1}
\subparagraph{(a)} Zeichnen Sie zu f mit $f(x)=a^x$ mit dem GTR oder GeoGebra die Graphen von $f, f\prime$ und $\frac{f\prime}{f}$ in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Variieren Sie die Basis und beschreiben Sie, was Ihnen auffällt.
\subparagraph{(b)} Es gibt eine Zahl e, für die der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=e^x$ exakt mit dem Graphen der Ableitungsfunktion übereinstimmt. Diese Zahl heißt Euler´sche Zahl ($e$). Bestimmen Sie mit dem GTR/GeoGebra durch Variation der Werte in a) einen Näherungswert für diese Zahl $e$.
\subsection{Bearbeitung der Aufgabe 1}
\begin{figure}
\begin{minipage}[b]{.4\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption
\includegraphics[width=\linewidth]{Bild1}
\caption{Bild 1} {$f(x)=a^x$, $a=1,8$}
\end{minipage}
\hspace{.1\linewidth}% Abstand zwischen Bilder
\begin{minipage}[b]{.5\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption
\includegraphics[width=\linewidth]{Bild2}
\caption{Bild 2} {$f(x)=a^x$, $a=2,4$}
\end{minipage}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{minipage}[b]{.4\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption
\includegraphics[width=\linewidth]{Bild3}
\caption{Bild 3} {$f(x)=a^x$, $a=2,7$}
\end{minipage}
\hspace{.1\linewidth}% Abstand zwischen Bilder
\begin{minipage}[b]{.5\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption
\includegraphics[width=\linewidth]{Bild4}
\caption{Bild 4} {$f(x)=a^x$, $a=3,5$}
\end{minipage}
\end{figure}
Der Graph von $f\prime$ verläuft unterhalb von dem Graphen von $f$ für alle $a<2,7$ . Für ca. $a=2,7$ stimmen die beiden Graphen (fast) überein und es gilt: $\frac{f\prime}{f} \approx 1$. Für $a>2,7$ verläuft der Graph von $f'$ oberhalb von $f$. Durch die Variation von $a$ in noch kleineren Schrittweiten erhält man einen Näherungswert 2,718 für die Euler´sche Zahl $e$.
\newpage
\subsection{Aufgabe 2}
\subparagraph{(a)}Bringen Sie die Kärtchen mit den folgenden Rechenschritten und Schlussfolgerungen in die richtige Reihenfolge. Erläutern Sie die jeweiligen Termumformungen oder Schlussfolgerungen.
\subsection{Bearbeitung der Aufgabe 2}
gegebene Funktion: $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=a^x$
\begin{equation}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\Leftrightarrow \frac{a^{x+h}-\:a^x}{h}
\Leftrightarrow \frac{a^x \cdot a^h -\:a^x}{h}
\Leftrightarrow \frac{a^x \cdot \: a^{h -1}}{h}
\Leftrightarrow a^x*\frac{a^{0+h}-\:a^0}{h}
\end{equation}
$\rightarrow$ Für die Ableitung einer Exponentialfunktion vom Typ $f(x)=a^x$, $(a>0)$ gilt:\\
$f\prime(x) = f\prime(0)*a^x$. Die Ableitung einer Exponentialfunktion $f\prime$ ist somit proportional zu der Funktion $f$.
\end{document}
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Hallo Mario, willkommen auf TeXwelt.de!
Bei diesem Code gibt es sehr viele Fehlermeldungen. Die sollte man beachten und beheben, auch wenn man den Übersetzungslauf trotzdem durchrauschen lässt, sonst gibt es Folgeprobleme und sowieso Darstellungsprobleme.
Ich habe mal solange im Code editiert, bis der letzte Fehler weg ist:
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[german]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{makeidx}
\usepackage[demo]{graphicx}
\usepackage{lmodern}
%\usepackage{kpfonts}
\usepackage{fourier}
\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2.5cm,bottom=2cm]{geometry}
\author{Mario Peters}
\title{Die Exponentialfunktion}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\pagebreak
\section{Die Exponentialfunktion}
\paragraph{\begin{flushleft}
Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die im einfachsten Fall die Form f(x)=ax
hat. Dabei ist die Basis a
eine reelle positive Zahl ungleich 0
oder 1
und der Exponent x
eine Variable. Wie die meisten Funktionen hat auch die Exponentialfunktion einen charakteristischen Graphen. Dieser lässt sich durch Parameter beeinflussen.
\end{flushleft}}
\subsection{Arten der Exponentialfunktionen}
\begin{flushleft}
Es gibt unterschiedliche Arten von Exponentialfunktionen. Drei wichtige werden dir hier vorgestellt:\\
Wachstumsfunktionen sind monoton steigende Funktionen, die Vorgänge beschreiben, bei denen etwas zunimmt. In der Grafik entspricht das der Funktion f.\\
Zerfallsfunktionen sind monoton fallende Funktionen, die Vorgänge beschreiben, bei denen etwas abnimmt. In der Grafik entspricht das der Funktion g.\\
Die natürliche Exponentialfunktion ist eine Funktion, die als Basis die eulersche Zahl $e$
hat. Sie beschreibt wachsende Vorgänge und zugleich ihre momentanen Änderungsraten.\\
Die Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion stellt in der Funktionsanalyse einen wichtigen Vorteil dar. Deshalb werden häufig mithilfe von Logarithmusfunktionen gewöhnliche Exponentialfunktionen in natürliche umgewandelt. Um dies durchführen zu können, musst du dich mit e-Funktionen und den Rechenregeln der Logarithmusfunktionen gut auskennen.
\end{flushleft}
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1,0,0}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw[->,color=black] (-4.3,0) -- (5.14,0);\label{Koordinatensystem}
\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0,-1.2) -- (0,6.3);
\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5,6}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-4.3,-3.58) rectangle (10.14,6.3);
\draw[blue,smooth,samples=100,domain=-4:5.0] plot(\x,{2^(\x)});
\draw[red,smooth,samples=100,domain=-4.2:5.0] plot(\x,{2^(-\x)});
\end{tikzpicture}
blau $f(x) =2^x $\:und\: rot $f(x) =2^{-x}$
\pagebreak
\subsection{Die Funktionsgleichungen und deren Parameter im Bezug auf den Graphen}
\begin{equation}
f(x)=e^x
\end{equation}
Diese natürliche Exponentialfunktion kann noch durch 4 Parameter ($a$,$c$,$d$ und $y_{0}$) ergänzt werden.
Diese beeinflussen auf ihre spezifische Art den Graphen der Funktion.
\subparagraph{graphische Darstellung von $f(x)=e^x$}
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1,0,0}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw[->,color=black] (-4.3,0) -- (5.14,0);\label{Koordinatensystem}
\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0,-1.2) -- (0,6.3);
\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5,6}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-4.3,-3.58) rectangle (10.14,6.3);
\draw[blue,smooth,samples=100,domain=-4:5.0] plot(\x,{e^(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{center}
Typische Eigenschaften:\\
- schneidet die y-Achse an der Stelle ($0\mid 1$)\\
- streng monoton steigend\\
-Graph nähert sich der x-Achse annähernd, aber berührt sie nie (Asymtote: y=0)\\
\pagebreak
\section{Die natürliche Exponentialfunktion/e-Funktion}
\section{Ableitungsgraphen der Exponentialfunktion untersuchen}
\subsection{Aufgabe 1}
\subparagraph{(a)} Zeichnen Sie zu f mit $f(x)=a^x$ mit dem GTR oder GeoGebra die Graphen von $f, f\prime$ und $\frac{f\prime}{f}$ in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Variieren Sie die Basis und beschreiben Sie, was Ihnen auffällt.
\subparagraph{(b)} Es gibt eine Zahl e, für die der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=e^x$ exakt mit dem Graphen der Ableitungsfunktion übereinstimmt. Diese Zahl heißt Euler´sche Zahl ($e$). Bestimmen Sie mit dem GTR/GeoGebra durch Variation der Werte in a) einen Näherungswert für diese Zahl $e$.
\subsection{Bearbeitung der Aufgabe 1}
\begin{figure}
\begin{minipage}[b]{.4\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption
\includegraphics[width=\linewidth]{Bild1}
\caption{Bild 1} {$f(x)=a^x$, $a=1,8$}
\end{minipage}
\hspace{.1\linewidth}% Abstand zwischen Bilder
\begin{minipage}[b]{.5\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption
\includegraphics[width=\linewidth]{Bild2}
\caption{Bild 2} {$f(x)=a^x$, $a=2,4$}
\end{minipage}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{minipage}[b]{.4\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption
\includegraphics[width=\linewidth]{Bild3}
\caption{Bild 3} {$f(x)=a^x$, $a=2,7$}
\end{minipage}
\hspace{.1\linewidth}% Abstand zwischen Bilder
\begin{minipage}[b]{.5\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption
\includegraphics[width=\linewidth]{Bild4}
\caption{Bild 4} {$f(x)=a^x$, $a=3,5$}
\end{minipage}
\end{figure}
Der Graph von $f\prime$ verläuft unterhalb von dem Graphen von $f$ für alle $a<2,7$ . Für ca. $a=2,7$ stimmen die beiden Graphen (fast) überein und es gilt: $\frac{f\prime}{f} \approx 1$. Für $a>2,7$ verläuft der Graph von $f'$ oberhalb von $f$. Durch die Variation von $a$ in noch kleineren Schrittweiten erhält man einen Näherungswert 2,718 für die Euler´sche Zahl $e$.
\newpage
\subsection{Aufgabe 2}
\subparagraph{(a)}Bringen Sie die Kärtchen mit den folgenden Rechenschritten und Schlussfolgerungen in die richtige Reihenfolge. Erläutern Sie die jeweiligen Termumformungen oder Schlussfolgerungen.
\subsection{Bearbeitung der Aufgabe 2}
gegebene Funktion: $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=a^x$
\begin{equation}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\Leftrightarrow \frac{a^{x+h}-\:a^x}{h}
\Leftrightarrow \frac{a^x \cdot a^h -\:a^x}{h}
\Leftrightarrow \frac{a^x \cdot \: a^{h -1}}{h}
\Leftrightarrow a^x*\frac{a^{0+h}-\:a^0}{h}
\end{equation}
$\rightarrow$ Für die Ableitung einer Exponentialfunktion vom Typ $f(x)=a^x$, $(a>0)$ gilt:\\
$f\prime(x) = f\prime(0)*a^x$. Die Ableitung einer Exponentialfunktion $f\prime$ ist somit proportional zu der Funktion $f$.
\end{document}
