Mit intersections und clipping und z.B. dem spath3-Paket kann man sowas hinkriegen, das sieht mir aber ziemlich schwierig aus. Daher ein einfacher Vorschlag für ein gleich aussehendes Ergebnis - einfach die Dreiecks-Seiten (in Zeile 111) etwas biegen, bis es gut aussieht:
\fill[fill=blue, fill opacity=0.5](A) to[bend right=7] (B)
to[bend right=12](C) to[bend right=7] (A);
[![alt text][1]][1]
Und wenn wir schonmal beim manuellen Justieren sind, nicht-mathematisch aber visuell gut: die Winkel kann man ein bisschen schieben, bis es passend aussieht:
\pic [draw, "$\alpha$", angle eccentricity=1.3,
transform canvas={shift={(-1.2mm,-0.8mm)}}] {angle = C--B--A};
\pic [draw, "$\beta$", angle eccentricity=1.3,
transform canvas={shift={(0.7mm,-0.7mm)}}] {angle = A--C--B};
\pic [draw, "$\gamma$", angle eccentricity=1.3,
transform canvas={shift={(0.1mm,0.8mm)}}] {angle = B--A--C};
[![Dreieck auf Kugel][1]][1]
[1]: https://texwelt.de/upfiles/dreieck-sphaere.pnghttps://texwelt.de/upfiles/sphaere-dreieck.png
