Wie kann ich in einer Fußnote anstatt des Links ein Wort ausgeben?

Folgendes könnte ein Anfang sein. Da Du kein Minimalbeispiel mitgeliefert hast, bin ich davon ausgegangen, dass ich wirklich nur die URL ersetzen muss und alles andere schon wie geplant aussieht.

Die Idee ist es, eine Version des url+urldate-Makros für die Zitate zu erstellen, das nur das Wort "Internetquelle" ausgibt und verlinkt und nicht die URL und das Zugriffsdatum.

Dieses neue Makro muss dann in den Zitaten verwendet werden, dazu bietet sich das Precode-Argument von \usedriver an.

Wenn Du noch eine alte Version von biblatex nutzen solltest, in der \letbibmacro noch nicht definiert ist, nutze statt \letbibmacro{url+urldate}{url+urldate:cite} einfach \renewbibmacro*{url+urldate}{\usebibmacro{url+urldate:cite}}.

\documentclass[ngerman]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{babel}
\usepackage{csquotes}

\usepackage[style=footnote-dw, backend=biber]{biblatex}

\addbibresource{biblatex-examples.bib}

\NewBibliographyString{onlineresource}
\DefineBibliographyStrings{german}{
  onlineresource = {Internetquelle},
}

\DeclareFieldFormat{brackets+urllink}{%
  \mkbibbrackets{%
    \ifhyperref
      {\href{\thefield{url}}{#1}}
      {#1}}}

\newbibmacro*{url+urldate:cite}{%
  \ifentrytype{online}
    {\iffieldundef{url}
       {}
       {\setunit{\addspace}%
        \printtext[brackets+urllink]{%
        \bibstring{onlineresource}}}}
    {}}

\renewbibmacro*{cite:full}{%
  \usebibmacro{cite:full:citepages}%
  \usebibmacro{footref}%
  \printtext[bibhypertarget]{%
    \usedriver
      {\DeclareNameAlias{sortname}{default}%
       \letbibmacro{url+urldate}{url+urldate:cite}}
      {\thefield{entrytype}}%
    \iffieldundef{shorthand}
      {}
      {\ifbool{cbx:citedas}
        {\addspace\usebibmacro{shorthandintro}}
        {}}}}

\begin{document}
Lorem\autocite{markey}
\printbibliography
\end{document}