Nach der Überschrift "Beweise" in der Beweis-Umgebung einen Absatz?

Zunächst einmal sei darauf hingewiesen, dass latin1 als Eingabecodierung hier auf TeXwelt falsch ist. Der interne Editor arbeitet mit UTF8. Daher lässt man inputenc am besten weg. Generell würde ich sehr dazu empfehlen, mit UTF8 zu arbeiten. Alle modernen Editoren sind genau wie LaTeX selbst auch darauf voreingestellt.

Dann sei darauf hingewiesen, dass von einigen wenigen Paketen abgesehen, für die ausdrücklich dokumentiert ist, dass sie nach hyperref zu laden sind, hyperref unbedingt das letzte Paket sein sollte. Sonst kann es nämlich (bisher) die ganzen Patches, die es an Anweisungen vieler Pakete vornehmen muss, nicht durchführen.

Der Punkt ist in amsthm quasi hardcoded. Um ihn durch einen Doppelpunkt zu ersetzen, muss man also die (interne) Anweisung \proof von amsthm patchen:

\usepackage{xpatch}
\xpatchcmd{\proof}{.}{:}{\typeout{\string\proof\space patched}}{\errmessage{\string\proof\space patch failed!}}

Da thmtools später \proof ebenfalls umdefiniert, sollte man das unmittelbar nach dem Laden von amsthm machen.

Für den Absatz nach der Überschrift kann man dagegen die Anweisung \addtotheorempostheadhook aus dem von dir geladenen Paket thmtools verwenden. Näheres zu der Anweisung ist der Paket-Anleitung zu entnehmen (bitte unbedingt nachlesen!). Da an der Stelle dann kein Seitenumbruch erfolgen soll, verwende ich für die neue Zeile nicht \par, sondern \par\nopagebreak. Der Unterschied sollte in jeder ausführlichen LaTeX-Einführung zu finden sein. Außerdem füge ich vor dem Absatz noch eine unsichtbare Box ein, um überhaupt einen Absatz an den Anfang der Listenumgebung zu bekommen.

Insgesamt also:

\documentclass[paper=a4,titlepage=true,bibliography=totocnumbered,parskip=half,DIV=12]{scrartcl}

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[gen]{eurosym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{xpatch}
\xpatchcmd{\proof}{.}{:}{\typeout{\string\proof\space patched}}{\errmessage{\string\proof\space patch failed!}}
\usepackage{thmtools}
\addtotheorempostheadhook[proof]{\mbox{}\par\nopagebreak}
\usepackage{hyperref}
\begin{document}
\begin{proof}
\underline{Voraussetzung}: Sei $a \in \mathbb{G}$.
\underline{Annahme}: Reflexivität: z.z.: Für alle $a \in \mathbb{G}$ gilt $a \parallel a$. \\
Für alle $a \in \mathbb{G}$ gilt $a=a \vee a\cap a=\emptyset$\\
\qedhere 
\end{proof}
\end{document}

Es sei auch noch darauf hingewiesen, dass Unterstreichen in der Typografie verpönt ist. Es gibt unzählige bessere Auszeichungsmöglichkeiten. Unterstreichen verwendet man bei handschriftlichen Texten (Tafel) oder Schreibmaschine, weil man dort nicht über Mittel wie kursiv oder fett verfügt.

Es sei auch darauf hingewiesen, dass Unterstreichen eine sehr viel stärkere Auszeichnung als Kursiv ist. Dadurch erscheint die Überschrift »Beweis:« gegenüber dem unterstrichenen »Voraussetzung« als untergeordnet statt umgekehrt.

Wenn man entgegen aller typografischer Ratschläge durch zum Unterstreichen greift, sei auf Pakete wie ulem oder (mit Einschränkung) soul hingewiesen, deren Ergebnisse häufig als besser eingeschätzt werden.