Bei der extbook Klasse lässt sich der Schriftgrad nicht auf 13pt einstellen

Wie in den nur zwei Seiten Anleitung zu extsizes angegeben ist, unterstützten die Klassen extbook, extreport und extarticle die Schriftgrößen: 8pt, 9pt, 10pt, 11pt, 12pt, 14pt, 17pt und 20pt. Da 13pt nicht angegeben ist, ist es nicht verwunderlich, dass beim LaTeX-Lauf die Warnung:

LaTeX Warning: Unused global option(s):
    [13pt].

ausgegeben wird. Folgerichtig wird dann die Standardschriftgröße 10pt verwendet.

Da die extsizes-Klassen diese Schriftgröße nicht unterstützen, ergibt es keinen Sinn, diese Klassen für ein Dokument in 13pt verwenden zu wollen. Die einzige Daseinsberechtigung für diese Klassen besteht nun einmal darin neben den Größen 10pt, 11pt und 12pt, die von den Standardklassen unterstützt werden, zusätzlich genau die Größen 8pt,9pt,14pt,17pt´ und 20pt zu unterstützen. Da die Klassen auf einer veralteten Fassung der Standardklassen beruhen, wären für alle anderen Größen die Standardklassen eine bessere Wahl.

Wie man andere Größen als die genannten, beispielsweise auch 13pt, mit den Standardklassen erreichen kann, ist bereits in »Wie ändere ich die Schriftgröße des Dokumentes?« hinreichend erklärt. Ich empfehle den dort ebenfalls erwähnten Wechsel zur KOMA-Script-Klasse scrbook.

Zu deinem Code sind allerdings noch einige Anmerkungen zu machen:

• Es ist nicht sinnvoll, in einem Minimalbeispiel eine Schrift zu verwenden, die im System des Online-Compilers nicht verfügbar ist. Das kann man leicht selbst mit dem »Ausgabe erzeugen«-Knopf testen. Die Wahrscheinlichkeit ist hoch, dass die Schrift auch bei potentiellen Helfern nicht verfügbar ist. Das Beispiel ist dann kein vollständiges Minimalbeispiel mehr. Da die ganzen Fonts für das Problem unerheblich sind, verwendet man für ein solches VM ohnehin besser die Standardfonts.
• \usepackage[utf8]{inputenc} braucht es schon seit 2018 nicht mehr. Da das Paket iftex erst danach entstanden ist, ergibt es also keinerlei Sinn, diese Zeile in einem Dokument zu verwenden, das iftex lädt.
• Die ganze Fallunterscheidung in deinem Dokument ist absurd, wenn danach doch zwingend fontspec geladen und verwendet wird. Damit ist das Dokument nämlich ohnehin nicht mit pdflatex übersetzbar. Darüber hinaus ist sie für das Problem unerheblich. Es gibt also gleich zwei Gründe, sie wegzulassen.
• Bereits mit dem Laden von Paket geometry werden dessen Randeinstellungen verwendet. Das muss kein Fehler sein. Ich erwähne es aber, weil es vielen Anwendern nicht klar ist. Für das Problem ist geometry natürlich vollkommen unerheblich.
• \fontsize{20pt}{18pt} dürfte in deinem Dokument genau gar nichts bewirken. Im Gegensatz zu den Schriftgrößenbefehlen \Huge … \tiny schalten sie die Schriftgröße nämlich nicht unmittelbar um. Siehe dazu den Hinweis in Abschnitt »2.2 Selection commands« von LaTeX2ε font selection (wobei du nicht die Online-Fassung nutzen musst, das Dokument befindet sich mit Sicherheit in jeder LaTeX-Installation). Für das Problem ist der Teil des Dokuments ohnehin unerheblich. Man lässt ihn also besser weg.
• Statt {\em …} sei \emph{…} empfohlen. Dabei wird man nämlich am Absatzende auch gewarnt, falls man die schließende Klammer vergisst.
• \\ sollte man nur im Umfeld von bestimmen Umgebungen wie tabular, verse, flushleft oder im Wirkbereich von entsprechenden Befehlen wie \raggedright oder \RaggedRight (→ Paket ragged2e) verwenden.
• Die Fonts von Überschriften stellt man besser entweder mit speziellen Paketen ein oder indem man ein Klasse (beispielsweise eine KOMA-Script-Klasse) verwendet, die das von sich aus bietet.
• Bei einzeln stehenden Zeilen sollte man sich überlegen, ob diese zum vorherigen Text gehören oder quasi eine Überschrift zum nachfolgenden Text sind. Je nachdem ist dann u. A. der Umbruch davor oder dahinter zu verhindern. Bei einer Überschrift ist es natürlich sinnvoll, wirklich einen Überschriftenbefehl zu verwenden. Hier böten die bereits genannten KOMA-Script-Klassen wiederum den Vorteil, dass man beliebige Überschriftenebenen umkonfigurieren oder auch neu definieren kann.

Abschließend sei erwähnt, dass ich dein Beispiel nicht getestet habe, sondern auf Basis eines deutlich einfacheren VMs geantwortet habe, nämlich:

%!TeX log
\documentclass[13pt]{extbook}% 14pt würde funktionieren
\usepackage{blindtext}
\begin{document}
Grundschriftgöße: \csname f@size\endcsname bei \the\baselineskip.
\blinddocument
\end{document}

Daran kann man bereits alles wesentliche für das Problem ablesen. Durch Änderung von %!TeX log in %!TeX xelatex kann man auch die Verwendung von XeLaTeX, mit %!TeX lualatex die Verwendung von LuaLaTeX (das inzwischen so viele Vorteile gegenüber XeLaTeX hat, dass ich es XeLaTeX immer vorziehen würde), mit %!TeX pdflatex die Verwendung von PDFLaTeX erzwingen. Ich habe die Ausgabe der log-Datei gewählt, weil man dann die erwähnte Warnung sehen kann.