änderst Du die Grundeinstellung für die verwendete Familie. Diese Grundeinstellung bestimmt, welche Familie bei \normalfont also beim Zurückschalten auf die Grundschrift verwendet wird. Da auch in \document ein \normalfont ausgeführt wird, ist damit auch die Grundschrift des Dokuments serifenlos. Es ändert aber nicht die Schrift, die bei expliziten Umschaltungen auf die roman, also die Serifenfamilie, mit \rmfamily verwendet wird.
Im Paket bigdelim sind die Anweisungen \ldelim und \rdelim leider so definiert, dass für den Text nicht \normalfont, sondern explizit \textrm verwendet wird. Es wird also explizit die Serifenschrift eingestellt. Ich möchte das nicht als Fehler bezeichnen, es kann aber unter Umständen wie Deinen zu einem Mangel des Pakets werden. Eine Möglichkeit wäre nun, tatsächlich auch \rmdefault so umzudefinieren, dass ebenfalls serifenlose Schrift verwendet wird, wie das Herbert in seiner Antwort sehr schön gezeigt hat.
Eine andere Möglichkeit wäre, das Problem in bigdelim selbst durch einen Patch zu lösen:
Code, hier editierbar zum Übersetzen:
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\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,etoolbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{bigdelim}
\makeatletter
\patchcmd\@ldelim{\textrm}{\text}{}{}
\patchcmd\@rdelim{\textrm}{\text}{}{}
\makeatother
\renewcommand*{\familydefault}{\sfdefault}
\begin{document}
\begin{tabular}{lll}
Datenbanken & Linux & \rdelim\}{2}{1.8cm}[Red Hat] \\
Durch den Patch wird einfach nur \textrm durch die amsmath-Anweisung \text ersetzt, die tatsächlich die Grundschrift verwendet. Alternativ könnte man in diesem Fall auch \mbox verwenden,
Übrigens kann man auch auf einem weiteren Weg Zeichen mit Serifen erhalten. Die Mathematikschrift wird nämlich nicht ebenfalls automatisch serifenlos. Allerdings wird das bei den meist kursiven mathematischen Zeichen für Laien nicht unbedingt sofort ersichtlich, aber beispielsweise bei:
Will man auch die Mathematik serifenlos, so benötigt man eine Mathematik-Grotesk-Schrift wie beispielsweise die cmbright. Für eine vollständige, freie Type-1-Version der cmbright benötigt man außerdem cm-super und hfbright.
