\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\makeatletter
\@tempcnta\time\divide\@tempcnta60\multiply\@tempcnta60
\@tempcntb\time\advance\@tempcntb-\@tempcnta
\divide\@tempcnta60
\edef\thisruntime{%
  \ifnum\@tempcnta<10 0\fi\the\@tempcnta:%
  \ifnum\@tempcntb<10 0\fi\the\@tempcntb:%
  00%
}
\AtBeginDocument{%
  \immediate\write\@auxout{%
    \string\gdef\string\firstrundatetime{\firstrundatetime}%
  }%
}
\makeatother
\newcommand*{\dyntime}{\today\ \thisruntime}
\newcommand*{\firstrundatetime}{\dyntime}
\begin{document}
\dyntime

\firstrundatetime
\end{document}

Die Definition von \thisruntime habe ich mir dabei aus de Paket scrtime abgeschaut.

Wie funktioniert das ganze?

Beim ersten LaTeX-Lauf wird \firstrundatetime zunächst als das aktuellen Datum und die Expansion der aktuellen Uhrzeit definiert. Während \begin{document} wird in die aux-Datei eine Neudefinition von \firstrundatetime geschrieben, deren Inhalt genau der (beim Schreiben expandierte) aktuelle Inhalt von \firstrundatetime ist. Das genaue Ergebnis der Expansion beim Schreiben kann man sich in der aux-Datei nach dem ersten Lauf anschauen.

Bei jedem weiteren LaTeX-Lauf wird zwar zunächst ebenfalls \firstrundatetime als das aktuelle Datum und die Expansion der aktuellen Uhrzeit definiert, allerdings wird dann die aux-Datei gelesen und somit \firstrundatetime auf den Wert aus der aux-Datei gesetzt. Erst dann wird die Neudefinition von \firstrundatetime wieder in die aux-Datei geschrieben. Damit steht in der aux-Datei unabhängig davon, ob das nun der zweite, dritte oder 100. LaTex-Lauf ist, immer Datum und Uhrzeit des ersten LaTeX-Laufs. Um das Ganze zurück zu setzen, löscht man einfach die aux-Datei. Das bedeutet natürlich auch, dass man die aux-Datei nicht löschen darf, solange das Datum erhalten bleiben soll.

Statt der aux-Datei könnte man natürlich auch eine eigene Datei verwenden. Diese müsste dann ebenfalls per \AtBeginDocument zunächst gelesen und dann geschrieben werden. Will man Informationen über einen LaTeX-Lauf hinaus retten, muss man bei TeX grundsätzlich Informationen in eine Datei zusätzliche Datei schreiben. Die aktuelle Datei kann man bei TeX nicht verändern. Ohne Informationen in eine Datei zu schreiben, kann man Informationen grundsätzlich nicht erhalten. Daher geht es nicht ohne so eine Datei. Die Verwendung der aux-Datei liegt dabei nahe, ist aber – wie gesagt – nicht zwingend.

Mit datetime:

Ausgehend von diesem ersten Ansatz ohne datetime und der zuvor erklärten Funktion, kann man nun auch eine Lösung mit datetime basteln. Das Problem, dass \today und \currenttime nicht expandierbar sind, bleibt natürlich bestehen. Für \currenttime ist der einfachste Ausweg bei \thisruntime aus dem ersten Ansatz zu bleiben. Für \today bietet datetime selbst eine Lösung. Das Paket bietet nämlich die Möglichkeit, mit \newdate ein Datum aufgrund nummerischer Daten zu definieren und dieses Datum dann mit \displaydate entsprechend der Formatierung von \today ausgeben zu lassen. Die nummerischen Daten des Datums eines LaTeX-Laufs können wir wie im ersten Ansatz für die Uhrzeit gezeigt, expandieren:

\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{datetime}
\makeatletter
\@tempcnta\time\divide\@tempcnta60\multiply\@tempcnta60
\@tempcntb\time\advance\@tempcntb-\@tempcnta
\divide\@tempcnta60
\edef\thisruntime{%
  \ifnum\@tempcnta<10 0\fi\the\@tempcnta:%
  \ifnum\@tempcntb<10 0\fi\the\@tempcntb:%
  00%
}
\edef\thisrunday{\the\day}%
\edef\thisrunmonth{\the\month}%
\edef\thisrunyear{\the\year}%
\AtBeginDocument{%
  \immediate\write\@auxout{%
    \string\gdef\string\firstrunday{\firstrunday}%
    \string\gdef\string\firstrunmonth{\firstrunmonth}%
    \string\gdef\string\firstrunyear{\firstrunyear}%
    \string\gdef\string\firstruntime{\firstruntime}%
  }%
  \newdate{firstrundate}{\firstrunday}{\firstrunmonth}{\firstrunyear}%
}
\makeatother
\newcommand*{\dyntime}{\today\ \thisruntime}
\newcommand*{\firstruntime}{\thisruntime}
\newcommand*{\firstrunday}{\thisrunday}
\newcommand*{\firstrunmonth}{\thisrunmonth}
\newcommand*{\firstrunyear}{\thisrunyear}
\newcommand*{\firstrundatetime}{\displaydate{firstrundate}\ \firstruntime}
\begin{document}
\dyntime

\firstrundatetime
\end{document}