Vertikale Ausrichtung tikzpicture in Tabelle

Bei m-Spalten werden die Inhalte der Tabellenzellen vertikal zentriert. Die Achse liegt allerdings nicht in der Mitte der Zeichnung, weshalb sie dann auch nicht vertikal mittig zur Formel ausgegeben wird.

Deshalb sind m-Spalten hier nicht sinnvoll. Man könnte jetzt X-Spalten ohne die Umdefinition von \tabularxcolumn verwenden, da aber zum einen der Inhalt der Tabellenzellen einzeilig sein soll und zum anderen momentan die linke Tabellenspalte zu schmal ist - Du verwendest \mbox um den eigentlich nötigen Zeilenumbruch zu verhindern - ist es vermutlich sinnvoller zwei r Spalten zu nutzen.

Damit würde dann die Zeichnung so ausgerichtet, dass sich die Koordinate O auf Höhe der Grundlinie der Matheformel befindet. Da O in dem Beispiel den Punkt (0,0) bezeichnet, kann man sogar nur einfach baseline statt baseline=(O) schreiben.

Die Achse muss nun noch um die halbe Höhe einer \strutbox nach oben und die halbe Tiefe einer \strutbox nach unten verschoben werden, d.h. die baseline der Zeichnung muss gegenüber der Achse um die halbe Höhe einer \strutbox nach unten und die halbe Tiefe einer \strutbox nach oben wandern. Geht die Achse durch den Punkt (0,0) kann man das erreichen, in dem man sich entweder eine Koordinate B bei (0,-.5\ht\strutbox+.5\dp\strutbox) definiert und baseline=(B) verwendet oder aber, in dem man für baseline diese Verschiebung direkt angibt: baseline={-.5*\ht\strutbox+.5*\dp\strutbox}

\documentclass[12pt]{beamer}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\begin{frame}
\begin{tabular}{rr}
  $(a,b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$ &
  \begin{tikzpicture}[line cap=round, line join=round,
      baseline={-.5*\ht\strutbox+.5*\dp\strutbox}
    ]
    \draw [->] (0,0) -- (4,0);
    \foreach \x/\y/\z in {1/(/$a$,3/)/$b$}
    \draw [shift={({\x},0)}] node {\y} node[below=7mm,anchor=base,font=\small] {\z};
  \end{tikzpicture}
\end{tabular}
\end{frame}
\end{document}