Fraktale mit pgfplots

Nach dem Start von PGFplots.net experimentierte ich ein bisschen mehr mit pgfplots. Dabei fragte ich mich, wie ich das bei jeder Grafiksoftware tue, wie sich damit Fraktale darstellen lassen und ob es dabei evtl. nützliche oder interessante Aspekte gibt. Geschwindigkeit und Speicherplatz sind hier nebensächlich, Kapazitäten ändern sich eh mit der Zeit.

Mich interessiert beispielsweise

ob ich iterativ definierte Funktionen übergeben und plotten kann
ob sich Farbräume (colormaps) nutzen lassen, wie für die Iterationszahl
sind geometrische Transformationen gut einsetzbar, wie bei iterierten Funktionssystemen (IFS, wie Barnsley Farn)
geht es auch dreidimensional

Es sind viele Fragen - wenn es sich ergibt, teilen wir das gern auf (kommentiert gern hierzu), jede interessante Antwort mit Beispiel ist willkommen.

Hier habe ich ein Beispiel gemacht, inspiriert von Herberts Darstellung einer Weierstraß-Funktion. Die mit Lua errechneten Werte werden in einer Tabelle gespeichert (hier 0,6 MB groß), die dann mit geringem Aufwand geplottet wird. Kann pgfplots hier mehr übernehmen, während der Berechnung, so dass ich keine externen Tabelle brauche? Kann man Farbigkeit einbringen, wie in den bekannten bunten Mandelbrot-Bildern?

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\documentclass[border=10pt]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{width=7cm,compat=1.8}
\usepackage{luacode}
\begin{luacode}
  function mandelbrot(x0, x1, y0, y1, steps, max_iter, max)
    local dx = (x1-x0)/steps
    local dy = (y1-y0)/steps
    local cx = x0
    local out=assert(io.open("tmp.data","w"))
    local x,y,cy,xtemp,ytemp,squaresum,iter
    while (cx <= x1) do
      cy = y0
      while (cy <= y1) do
        squaresum = 0
        x = 0
        y = 0
        iter = 0
        while (squaresum <= max) and (iter < max_iter)  do
          xtemp = x * x - y * y + cx
          ytemp = 2 * x * y + cy
          x = xtemp
          y = ytemp
          iter = iter + 1
          squaresum = x * x + y * y
        end
        if (iter >= max_iter) then out:write(cx, " ", cy, " ", "\string\n") end
        cy = cy + dy
      end
      cx = cx + dx
    end
    out:close()
  end
\end{luacode}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \directlua{mandelbrot(-2,1,-2,2,500,1000,4)}
  \begin{axis}[domain=-2:2,tick label style={font=\tiny},]
    \addplot [only marks, mark=*, mark size=0.06pt] table {tmp.data};
  \end{axis}
\end{tikzpicture}
 
 
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Mandelbrot-Menge

gefragt 23 Mär '14, 22:18

stefan ♦♦
18.4k●16●31●48
Akzeptiert-Rate: 50%

bearbeitet 23 Mär '14, 22:30

Eine Antwort:

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Im Grunde willst Du ja (x,y,f(x,y)) ausrechnen. In Deinem Fall hast Du lediglich "bestimmte" x y als tabelle exportiert (und dazu x und y in einem jeweils vordefinierten Interval gesamplt) und diese als scatter plot geladen.

Einfacher ist es, wenn Du \addplot3 verwendest: das nimmt Dir die sampling arbeit komplett ab und Du kannst die Gebiete mittels domain und domain y angeben. Der Wert fuer f(x,y) ist dann in curly braces anzugeben; in Deinem Fall sind das wohl die Anzahl iterationen bis zu der Divergenz eingetreten ist. Beim Experimentieren ist mir aufgefallen, dass man hier am besten nur bis zu 30 Iterationen farbkodiert - selbst wenn die Berechnung viel weiter geht.

Hinzu kommt, dass Du vermutlich Farbverlaeufe sehen willst. Das geht am besten mit surf und shader=interp. Dieses ist auch sehr viel effizienter als farblich kodierte marker (in Bezug auf compile zeit und pdf groesse).

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\documentclass[border=10pt]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{width=7cm,compat=1.8}
\usepackage{luacode}
\begin{luacode}
  function mandelbrot(cx,cy, max_iter, max)
    local x,y,xtemp,ytemp,squaresum,iter
    squaresum = 0
    x = 0
    y = 0
    iter = 0
    while (squaresum <= max) and (iter < max_iter)  do
      xtemp = x * x - y * y + cx
      ytemp = 2 * x * y + cy
      x = xtemp
      y = ytemp
      iter = iter + 1
      squaresum = x * x + y * y
    end
    local result = 0
    if (iter < max_iter) then
        result = iter
    end
    -- result = squaresum
    -- io.write("" .. cx .. ", " .. cy .. " = " .. result .. " (iter " .. iter .. " squaresum " .. squaresum .. ") \string\n")
    tex.print(result);
  end
\end{luacode}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \begin{axis}[
    colorbar,
    point meta max=30,
    tick label style={font=\tiny},
    view={0}{90}]
    \addplot3 [surf,domain=-1.5:0.5,shader=interp,domain y=-1:1,samples=200] {
        \directlua{mandelbrot(\pgfmathfloatvalueof\x,\pgfmathfloatvalueof\y,10000,4)}
    };
  \end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}
 
 
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Dieses Listing braucht das expandierbare Macro \pgfmathfloatvalueof, um die von pgfplots in einer internen float darstellung bereitgestellten Werte fuer "x" und "y" an LUA zu kommunizieren... vielleicht faellt mir da irgendwann eine handlichere Loesung zu ein.

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beantwortet 25 Mär '14, 00:09

cfeuersaenger
3.7k●2●3
Akzeptiert-Rate: 34%

Sehr schön! \addplot3 fiel mir da nicht ein. Wieder ein Beispiel, was die Fähigkeiten Deines tollen Pakets demonstriert!

(29 Mär '14, 00:23) stefan ♦♦

Eine Variante von Christians Antwort, um eine Julia-Menge zu plotten:

Julia-Menge

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\documentclass[border=5pt]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{width=7cm,compat=1.8}
\usepackage{luacode}
\begin{luacode}
  function julia(cx,cy, max_iter, max)
    local x,y,xtemp,ytemp,squaresum,iter
    squaresum = 0
    x = cx
    y = cy
    iter = 0
    while (squaresum <= max) and (iter < max_iter)  do
      xtemp = x * x - y * y - 0.742
      ytemp = 2 * x * y + 0.1
      x = xtemp
      y = ytemp
      iter = iter + 1
      squaresum = x * x + y * y
    end
    local result = 0
    if (iter < max_iter) then
        result = iter
    end
    -- result = squaresum
    -- io.write("" .. cx .. ", " .. cy .. " = " .. result .. " (iter " .. iter .. " squaresum " .. squaresum .. ") \string\n")
    tex.print(result);
  end
\end{luacode}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \begin{axis}[
    colormap/hot2,
    colorbar,
    axis equal,
    point meta max=50,
    tick label style={font=\tiny},
    view={0}{90}]
    \addplot3 [surf, domain = -1.82:1.82, shader = interp,
      domain y = -1.5:1.5, samples = 350] 
      {\directlua{julia(\pgfmathfloatvalueof\x,\pgfmathfloatvalueof\y,10000,4)}
    };
 
 
הההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההה
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beantwortet 29 Mär '14, 00:19

stefan ♦♦
18.4k●16●31●48
Akzeptiert-Rate: 50%

@Stefan Beeindruckend und auch farblich ganz toll.

(29 Mär '14, 07:43) esdd

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