Hier noch eine einfache calc-Umsetzung, die im Vergleich zur \pgfpatharcto-Lösung

• nur Kreisbögen zeichnen kann (keine Ellipsen) und
• nur Radien mit Einheiten verarbeiten kann.

Kurzfristiger Vorteil dieser Lösung ist allerdings, dass es den allseits bekannten arc-Path-Operator benutzt; das heißt, mit der CVS-Version sind auch Nodes/Coordinates entlang des Bogens platzierbar.

Eigentlich, denn mit der CVS-Version wird der Bogen statt zum relativen Punkt ( +x, +y) zum Punkt ( +y, +x) gezeichnet; dies lässt sich allerdings mit einer kleinen Korrektur an der Berechnung der Winkel korrigieren.

Code (2.10)

\documentclass[tikz,convert=false]{standalone}
\usetikzlibrary{calc}
\tikzset{
  arc/ccw/.initial=1,
  arc/large/.initial=0,
  arc ccw/.style={/tikz/arc/ccw=1},
  arc cw/.style={/tikz/arc/ccw=0},
  arc large/.style={/tikz/arc/large=1},
  arc small/.style={/tikz/arc/large=0}
}
\tikzset{
  arc to/.style={
    to path={
      let \p{arcto@1}=($(\tikztotarget)-(\tikztostart)$),
          \n{arcto@a}={acos(.5*veclen(\p{arcto@1})/(#1))},
          \n{arcto@s}={180 + atan2(\p{arcto@1}) - ifthenelse(\pgfkeysvalueof{/tikz/arc/large}==1,-1,1)*\n{arcto@a} + ifthenelse(\pgfkeysvalueof{/tikz/arc/ccw}==1,180,0)},
          \n{arcto@e}={      atan2(\p{arcto@1}) + ifthenelse(\pgfkeysvalueof{/tikz/arc/large}==1,-1,1)*\n{arcto@a} + ifthenelse(\pgfkeysvalueof{/tikz/arc/ccw}==1,180,0)}
      in
       \if\pgfkeysvalueof{/tikz/arc/ccw}0
         (\tikztostart) arc [start angle=\n{arcto@s}, end angle=\n{arcto@e}, radius={#1}] \tikztonodes
       \else
         (\tikztostart) arc [start angle=\n{arcto@e}, end angle=\n{arcto@s}, radius={#1}] \tikztonodes
       \fi
    }
  }
}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[ultra thick,dot/.style={label={#1}}]
\coordinate[dot=below left:$a$] (a) at (0,0);
\coordinate[dot=above right:$b$] (b) at (2,3);

\tikzset{nodes={circle,fill=white, fill opacity=.9, text opacity=1, inner sep=+0pt, text=black}}
\draw[blue]    (a) to[arc to=3cm]                    (b);
\draw[red]     (a) to[arc to=3cm,            arc cw] (b);
\draw[blue!50] (a) to[arc to=3cm, arc large]         (b);
\draw[red!50]  (a) to[arc to=3cm, arc large, arc cw] (b);

\fill[radius=2pt] (a) circle[] (b) circle[];
\end{tikzpicture}
\end{document}

Output (2.10)

Code (2.10-CVS)

\documentclass[tikz,convert=false]{standalone}
\usetikzlibrary{calc}
\tikzset{
  arc/ccw/.initial=1,
  arc/large/.initial=0,
  arc ccw/.style={/tikz/arc/ccw=1},
  arc cw/.style={/tikz/arc/ccw=0},
  arc large/.style={/tikz/arc/large=1},
  arc small/.style={/tikz/arc/large=0}
}
\tikzset{
  arc to/.style={
    to path={
      let \p{arcto@1}=($(\tikztotarget)-(\tikztostart)$),
          \n{arcto@a}={acos(.5*veclen(\p{arcto@1})/(#1))},
          \n{arcto@s}={180 + 90 - atan2(\p{arcto@1}) - ifthenelse(\pgfkeysvalueof{/tikz/arc/large}==1,-1,1)*\n{arcto@a} + ifthenelse(\pgfkeysvalueof{/tikz/arc/ccw}==1,180,0)},
          \n{arcto@e}={    + 90 - atan2(\p{arcto@1}) + ifthenelse(\pgfkeysvalueof{/tikz/arc/large}==1,-1,1)*\n{arcto@a} + ifthenelse(\pgfkeysvalueof{/tikz/arc/ccw}==1,180,0)}
      in
       \if\pgfkeysvalueof{/tikz/arc/ccw}0
         (\tikztostart) arc [start angle=\n{arcto@s}, end angle=\n{arcto@e}, radius={#1}] \tikztonodes
       \else
         (\tikztostart) arc [start angle=\n{arcto@e}, end angle=\n{arcto@s}, radius={#1}] \tikztonodes
       \fi
    }
  }
}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[ultra thick,dot/.style={label={#1}}]
\coordinate[dot=below left:$a$] (a) at (0,0);
\coordinate[dot=above right:$b$] (b) at (2,3);

\tikzset{nodes={circle,fill=white, fill opacity=.9, text opacity=1, inner sep=+0pt}}
\draw[blue]    (a) to[arc to=3cm]                    node[near start] {.25} node {.5} node[near end] {.75} (b);
\draw[red]     (a) to[arc to=3cm,            arc cw] node[near start] {.25} node {.5} node[near end] {.75} (b);
\draw[blue!50] (a) to[arc to=3cm, arc large]         node[near start] {.25} node {.5} node[near end] {.75} (b);
\draw[red!50]  (a) to[arc to=3cm, arc large, arc cw] node[near start] {.25} node {.5} node[near end] {.75} (b);

\fill[radius=2pt] (a) circle[] (b) circle[];
\end{tikzpicture}
\end{document}

Output (2.10-CVS)

Meine ursprüngliche Antwort berechnet den Radius falsch aufgrund eines Denkfehlers meinerseits. Wo der Fehler passiert, bleibt dem Leser als Aufgabe überlassen. Da @QrrBrBirlbel in seiner Antwort mit einer neuen TikZ-Erweiterung schon die vermutlich beste TikZ-Antwort gegeben hat, nehme ich die Gelegenheit wahr, ein TikZ-Paket zu verwenden, das schon lange in meinem Hinterkopf spukte, mit dem ich mich aber erst seit kurzem näher beschäftige: Alain Matthes' tkz-euclide. (Da das Handbuch zu diesem Paket nur auf französisch vorhanden ist, mein Französich aber nur noch marginal vorhanden ist, ist das für mich ein durchaus mühseliges Unterfangen.)

tkz-euclide erlaubt es im Prinzip, den Bogen zu konstruieren, wie man es auf Papier mit Lineal und Zirkel machen würde:

1. Um beide Punkte A und B einen Kreis mit dem gewünschten Radius schlagen.
2. Die Schnittpunkte beider Kreise sind mögliche Mittelpunkte für den Bogen. => Den Zirkel in den gewünschten Punkt stechen und den Bogen zwischen A und B zeichnen.

Um die Schnittpunkte zweier Kreise zu bestimmen, stellt tkz-euclide den Befehl \tkzInterCC[R](<M1>,<r1>)(<M2>,<r2>) bereit. Die Option R ist nötig, damit man die Kreise durch Mittelpunkt und Radius festlegen kann. Damit man danach beide Punkte einfach verwenden kann, bietet tkz-euclide nun drei Makros:

• \tkzGetPoints{<name1>}{<name2>},
• \tkzGetFirstPoint{<name1>} oder
• \tkzGetSecondPoint{<name2>}

Für das Zeichen des Bogens um M von P nach Q zu schlagen, kommt nun noch ein letzter Befehl zum Einsatz: \tkzDrawArc(M,P)(Q).

Das alles zusammengesetzt führt dann zu folgendem Beispiel:

\documentclass{article}
\usepackage{tkz-euclide}
\usetkzobj{all}
\begin{document}

% Beispiele
\begin{tikzpicture}
  \tkzInit[xmin=2,xmax=7,ymax=3]
  \tkzGrid
  \tkzClip
  \tkzDefPoint(3,1){A}% entspricht \coordinate (A) at (3,1) ;
  \tkzDefPoint(6,2){B}
  % Radius: 3cm, erster Schnittpunkt (X) als Mittelpunkt für den Bogen:
  \def\r{3cm}
  \tkzInterCC[R](A,\r)(B,\r)\tkzGetFirstPoint{X}
  \tkzDrawArc[color=red](X,A)(B)
  % Radius: 5cm, erster Schnittpunkt (Y) als Mittelpunkt für den Bogen:
  \def\r{5cm}
  \tkzInterCC[R](A,\r)(B,\r)\tkzGetFirstPoint{Y}
  \tkzDrawArc[color=green](Y,A)(B)
  % Radius 2cm, zweiter Schnittpunkt (Z) als Mittelpunkt für den Bogen:
  \def\r{2cm}
  \tkzInterCC[R](A,\r)(B,\r)\tkzGetSecondPoint{Z}
  \tkzDrawArc[color=blue](Z,B)(A)
  % zur Anzeige der Punkte kann folgendes verwendet werden:
  % \tkzDrawPoints(A,B,X,Y,Z)
  % \tkzLabelPoint(A,B,X,Y,Z)
\end{tikzpicture}

\end{document}

Die folgende alte „Lösung“ berechnet den Radius falsch! Auch die Alternative, die im Kommentar vorgeschlagen wird, stimmt nicht! Bitte nicht verwenden.

Ursprüngliche Antwort:

Mit ein bisschen Geometrie, Mathematik und der Hilfe der calc und der through Bibliotheken lässt sich das machen. Die Erklärung der Syntax \coordinate (X) at ($(A)!.5!(B)!{sin(60)*2}!90:(B)$) ; findet man im pgfmanual im Tutorial: Euclid’s Amber Version of the Elements, Book I, Proposition II, Abschnitt Using Partway Calculations for the Construction of D.

\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,through}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  % zur Bequemlichkeit:
  \tikzset{punkt/.style={fill,circle,inner sep=1pt,label=#1}}
  \draw[help lines] (-1,-1) grid (3,2) ;
  \node[punkt=A] (A) at (0,0) {} ;
  \node[punkt=B] (B) at (2,1) {} ;
  % Radius = Abstand AB:
  \coordinate (X) at ($(A)!.5!(B)!{sin(60)*2}!90:(B)$) ;
  \node (X') [draw,red,circle through=(A)] at (X) {};
  % Radius = 1.5 mal Abstand AB:
  \coordinate (Y) at ($(A)!.5!(B)!{sin(60)*-3}!90:(B)$) ;
  \node (Y') [draw,blue,circle through=(A)] at (Y) {};
  % Radius = \r:
  \def\r{1.5}
  \node[punkt=Z] (Z) at ($(A)!.5!(B)!{\r/(sin(60)*2)}!90:(B)$) {};
  \node (Z') [draw,green,circle through=(A)] at (Z) {};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Edit Erst nach Beantwortung der Frage, wurde mir klar, dass es nicht um Kreise, sondern um Kreisbögen geht. Damit meine Arbeit nicht umsonst war, folgt daher eine Modifikation, die die ungewünschten Teile der Kreise durch Clipping entfernt:

\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,through}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \tikzset{punkt/.style={fill,circle,inner sep=1pt,label=#1}}
  \draw[help lines] (-1,-2) grid (3,2) ;
  \node[punkt=A] (A) at (0,0) {} ;
  \node[punkt=B] (B) at (2,1) {} ;
  \begin{scope}
    \def\r{1.5}
    \node[punkt=M$_1$] (X) at ($(A)!.5!(B)!{\r/(sin(60)*2)}!90:(B)$) {};
    \clip (A)++(0,-1) rectangle (B) ;
    \node (X') [draw,green,circle through=(A)] at (X) {};
  \end{scope}
  \begin{scope}
    \def\r{-3}
    \node[punkt=M$_2$] (X) at ($(A)!.5!(B)!{\r/(sin(60)*2)}!90:(B)$) {};
    \clip (A)++(0,-1) rectangle (B) ;
    \node (X') [draw,red,circle through=(A)] at (X) {};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}