Wie entferne ich die roten Rahmen um Hyperlinks?

Zunächst einmal sei darauf hingewiesen, dass die roten Rahmen beim Drucken nicht mitgedruckt werden. Sie sind also für Dokumente, die sowohl online verwendet werden sollen als auch zum Ausdruck bestimmt sind, fast schon ideal. Verwendet man dagegen Schriftfarbe für Links, so wird diese beim Ausdruck ebenfalls farbig bzw. in Graustufen gedruckt, was eher unschön ist.

Sind die Rahmen zu aufdringlich, so kann man sie einfach durch Unterstriche ersetzen. Dazu bietet hyperref die Option pdfborderstyle, die nicht in der Hauptanleitung, sondern im README von hyperref dokumentiert ist:

\documentclass{scrartcl}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{blindtext}
\usepackage[pdfborderstyle={/S/U/W 1}]{hyperref}
\begin{document}
\tableofcontents
\blinddocument
\end{document}

Damit erhält man mehr oder weniger dezente Unterstriche, die ebenfalls nicht mit gedruckt werden:

Die Farbe der Linien kann man beispielsweise über die Optionen citebordercolor (Literaturverweise), filebordercolor (externe Dateien), urlbordercolor (externe Verweise), linkbordercolor (Links allgemein, wie obige interne Links) ändern.

Will man stattdessen keine Rahmen und keine Farbe, was für den Anwender die ungünstigste Lösung ist, weil er erst durch Suche mit der Maus auf Links stößt, so kann man einfach die Randbreite auf 0 setzen:

\documentclass{scrartcl}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{blindtext}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
\begin{document}
\tableofcontents
\blinddocument
\end{document}

oder jegliche Kennzeichnung von Links mit Hilfe von Option hidelinks abschalten. Es werden dann keine Rahmen und keine Unterstriche mehr angezeigt, die Links werden nicht mehr eingefärbt und auch nicht durch andere Schrift hervorgehoben. Die Links sind dennoch vorhanden, wie die Sprungzielanzeige im PDF-Viewer hier beweist:

Als letztes bietet hyperref mit Option colorlinks auch die Möglichkeit, die Links selbst einzufärben. Allerdings werden diese Farbeinstellungen dann auch beim Ausdruck verwendet.

\documentclass{scrartcl}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{blindtext}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}
\begin{document}
\tableofcontents
\blinddocument
\end{document}

Das zweite Beispiel dürfte also am ehesten Deine Erwartungen erfüllen, während ich im Interesse des Lesers eher zum ersten Beispiel raten würde.

All diese Möglichkeiten werden in der ausführlichen hyperref-Anleitung, die sich über Manual, README, Option Übersicht, ChangeLog und Folien erstreckt, aufgeführt. Es finden sich dort auch Optionen, um die einzelnen Farben zu bestimmen. Im Inhaltsverzeichnis kann man übrigens statt der Überschriften auch nur die Seitenzahlen einfärben. Man beachte, die sehr dezenten Striche unter den Seitenzahlen:

Ich überlasse es dem Leser, die Option, die dafür zusätzlich zur Option aus dem ersten Besipiel verwendet wurde, im der Anleitung zu finden.