Wie kann ich abgesetzte Formeln mit Hintergrundfarbe versehen?

Hintergrundfarbe nur für die Gleichungen/Gleichungsgruppen selbst

Hierfür bietet sich das Paket empheq an. Ein Beispiel für die Anwendung steht in der Antwort von @Stefan.

Sollen an verschiedenen Stellen im Dokument Matheumgebungen mit der gleichen Hintergrundfarbe versehen werden, kann man sich mit diesem Paket eine neue Umgebung definieren, der nur noch die jeweilige Matheumgebung als Argument übergeben werden muss:

\documentclass{scrartcl}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{empheq}
\newcommand*\mygreenbox[1]{%
  \colorbox{green!10}{\hspace{1em}#1\hspace{1em}}}
\newenvironment{mathbgcol}[2][]{%
  \setkeys{EmphEqEnv}{#2}%
  \setkeys{EmphEqOpt}{box=\mygreenbox,#1}%
  \EmphEqMainEnv}%
  {\endEmphEqMainEnv}  
\usepackage{blindtext}
\begin{document}
\blindtext
\begin{mathbgcol}{align}
  c^2&=a^2+b^2\\
  A&=\frac{1}{2}ab
\end{mathbgcol}
\blindtext
\end{document}

Hintergrundfarbe für die gesamten Zeilen einschließlich Gleichungsnummern

Eine einfache Möglichkeit ist die shaded Umgebung aus dem framed Paket, bei der jedoch die Hintergrundfarbe in den Rand ragt.

\documentclass{scrartcl}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{framed}
\colorlet{shadecolor}{green!10}
\usepackage{blindtext}
\begin{document}
\blindtext
\begin{shaded}
  \begin{align}
    c^2&=a^2+b^2\\
    A&=\frac{1}{2}ab
  \end{align}
\end{shaded}
\blindtext
\end{document}

Als Alternativen mit besseren Einstellmöglichkeiten gibt es die von @Qrrbrbirlbel genannten Pakete mdframed, tcolorbox und hf-tikz und eventuell noch einige weitere, die ich bisher nicht kenne.

Beispiel für mdframed:

\documentclass{scrartcl}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{mdframed}
\mdfdefinestyle{mathbgcol}{% 
  backgroundcolor=green!10,roundcorner=8pt,hidealllines=true,nobreak,
  innertopmargin=0pt,innerbottommargin=\the\belowdisplayskip}
\usepackage{blindtext}
\begin{document}
\blindtext
\begin{mdframed}[style=mathbgcol]
  \begin{align}
    c^2&=a^2+b^2\\
    A&=\frac{1}{2}ab
  \end{align}
\end{mdframed}
\blindtext
\end{document}

Ein Vorteil von mdframed ist, dass man die einzelnen Matheumgebungen einfach in der Präambel anpassen kann, wenn sie im gesamten Dokument einheitlich behandelt werden sollen.

\documentclass{scrartcl}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[tikz]{mdframed}
\mdfdefinestyle{mathbgcl}{% 
  backgroundcolor=green!10,hidealllines=true,nobreak,roundcorner=8pt,
  innertopmargin=0pt,innerbottommargin=\the\belowdisplayskip}
\surroundwithmdframed[style=mathbgcl]{align}
\usepackage{blindtext}
\begin{document}
\blindtext
  \begin{align}
    c^2&=a^2+b^2\\
    A&=\frac{1}{2}ab
  \end{align}
\blindtext
\end{document}

Weitere Gestaltungsmöglichkeiten

Mit allen erwähnten Paketen können mindestens auch Rahmen gezeichnet werden. Einige bieten zusätzlich die Möglichkeit einen Titel in die Box einzufügen. Das Paket hf-tikz ermöglicht auch kompliziertere Markierungen innerhalb von Gleichungen. Zum Beispiel kann auch eine einzelne Gleichung innerhalb einer alignat-Umgebung farblich hinterlegt werden (benötigt zwei Durchläufe):

\documentclass{scrartcl} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage[norndcorners,customcolors]{hf-tikz}
\hfsetbordercolor{red!50}
\hfsetfillcolor{red!50}

\begin{document} 
\begin{alignat*}{2}
  \tikzmarkin{glw}(0.05,-0.4)(-0.05,0.6)\frac{A}{B}&+ BB &&=CC\tikzmarkend{glw}\\[5pt] 
  A&+B&&=C 
\end{alignat*}
\end{document}

Bei speziellen Wünschen lohnt sich also ein Blick in die oben verlinkten Paketdokumentationen.

Weitere Gestaltungsmöglichkeiten findet man auch im Artikel Farbige Mathematik von Herbert Voß.