Buchstaben unter dem Vereinigungszeichen einfügen

\cup und \cap sind eher als Infix-Zeichen wie +, \times und \cdot zu verstehen und nutzen. Wenn Du etwas ähnliches analog zu \sum oder \prod möchtest, dann nimmst Du besser \bigcup und \bigcap. Diese Befehle funktionieren was Sub- und Superskripte angeht genauso wie \sum.

Im Inline-Mathemodus \(...\)/$...$ sind Sub- und Superskript an der Seite, im abgesetzten Mathe-Modus \[...\]/align/equation darunter und darüber. Wie bei \sum kannst Du notfalls mit \limits/\nolimits (https://texfaq.org/FAQ-limits) gegensteuern – meist ist das aber nicht empfehlenswert.

Da ich bei cup und \cap immer durcheinander komme, definiere ich mir für meine Dokumente

\newcommand*{\setintersect}{\cap}
\newcommand*{\setunion}{\cup}

\newcommand*{\bigsetintersect}{\bigcap}
\newcommand*{\bigsetunion}{\bigcup}

dann kann ich etwas klarere Namen nutzen. Gerade wenn man Symbole für nicht so standardisierte Dinge wie die disjunkte Vereinigung braucht, ist das ganz praktisch, da man dann das Symbol falls nötig einfacher austauschen kann.

Beachte bitte, dass man – wie bereits von Ijon Tichy in den Kommentaren angemerkt – immer ganze Formeln im Mathemodus setzen sollte und nicht nur die Teile, die nicht anders gehen (und Fehler hervorrufen). (Es gibt dann Unterschiede in der Ausgabe was Leerzeichen angeht, ebenso sind die js in den Indizes jetzt, wie im Mathematiksatz für Variablen üblich, kursiv.)

\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}

\newcommand*{\setintersect}{\cap}
\newcommand*{\setunion}{\cup}

\newcommand*{\bigsetintersect}{\bigcap}
\newcommand*{\bigsetunion}{\bigcup}

\begin{document}

\begin{enumerate}
\item $\forall (O_{j})_{j \in J} \subseteq \tau : \bigcup_{j\in J} O_{j} \in \tau$
\item $\forall O_{1}, O_{2} \in \tau: O_{1} \cap O_{2} \in \tau$
\item $\varnothing ,X  \in \tau$
\end{enumerate}

\[
  \forall (O_{j})_{j \in J} \subseteq \tau : \bigcup_{j\in J} O_{j} \in \tau
\]

% mit semantischen Befehlen

\begin{enumerate}
\item $\forall (O_{j})_{j \in J} \subseteq \tau : \bigsetunion_{j\in J} O_{j} \in \tau$
\item $\forall O_{1}, O_{2} \in \tau: O_{1} \setintersect O_{2} \in \tau$
\item $\varnothing ,X  \in \tau$
\end{enumerate}

\[
  \forall (O_{j})_{j \in J} \subseteq \tau : \bigsetunion_{j\in J} O_{j} \in \tau
\]

\end{document}